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Exercice Intégrales d'euler

Posté par
Myma19 27-12-16 à 18:52

Bonsoir, bonsoir,
Je suis face à un exo de calcul intégral, encore et toujours et j'aurais besoin de votre aide pour montrer que :

Pour I = \int_{0}^{\pi /2}{ln(sin(t))}dt et J = \int_{0}^{\pi /2}{ln(cos(t))dt}
Montrer que I et J sont bien définies et quelles sont égales. Pour montrer quelles sont égales, pas de soucis, suffit de faire un changement de variable dans J et de poser h = \pi /2 - t. Mais pour montrer quelles sont effectivement bien définies j'ai un peu de mal. Faut-il montrer que la fonction à l'intérieur de l'intégrale admet une limite finie en 0 ? Si oui, comment ?

Merci d'avance pour votre aide!

Posté par
SkyMtnre : Exercice Intégrales d'euler 27-12-16 à 19:01

Peut être en remarquant que \ln(\sin x) = \ln x + O(1) ou en encadrant en utilisant 2x/\pi  \leqslant \sin x\leqslant x sur [0,\pi/2]...

Posté par
jsvdbre : Exercice Intégrales d'euler 27-12-16 à 23:07

Bonsoir.
Personnellement, je préfère, et de loin, ta deuxième solution, SkyMtn, qui a le gros mérite d'utiliser des encadrements certains et de ne pas utiliser de O ... pente glissante ...

Posté par
luzakre : Exercice Intégrales d'euler 28-12-16 à 10:26

Bonjour !
Il y a aussi l'étude de la limite en 0 de x\mapsto\sqrt x\,\ln(\sin x)

Posté par
Myma19re : Exercice Intégrales d'euler 28-12-16 à 11:00

Merci pour vos réponses. Mais Luzak, je ne comprends pas..? en quoi l'etude de la limite de cette fonction quand c tend vers 0 nous montre que l'integrale est définie ? Je ne comprends pas ce que le racine de x viens faire ici..

Posté par
luzakre : Exercice Intégrales d'euler 28-12-16 à 12:40

C'est dans ton cours ! Cela s'appelle parfois "règle de Duhamel", en raccourci "règle t^{\alpha}f(t) !


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