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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Exercice loi de Poisson
Posté par mmalware
Bonjour , je suis bloqué avec un exercice , voici l'énoncé :
Un fichier informatique vidéo est composé de 10 ^ 9 bits (valeurs 0 ou 1). Lors de la
transmission de ce fichier sur un réseau, il peut se produire des erreurs : on considère que la
valeur de chaque bit peut être modifiée avec probabilité p très faible, et que tous ces événements
sont indépendants. On suppose de plus que plus la transmission est rapide, plus il y a d'erreurs ;
de sorte qu'il est possible d'ajuster la valeur de p en réglant la vitesse de transmission. Pour
cela on cherche à satisfaire les deux critères suivants :
(1) La proportion de bits erronés doit être en moyenne inférieure à 10^−6
(2) La probabilité de ne faire aucune erreur dans l'en-tête du fichier (formé des 1000 premiers
bits) doit être supérieure à 1 − α, avec α = 10−4
1. On note X le nombre d'erreurs. Quelle est la loi exacte de X ? Par quelle loi peut-on l'approcher
au vu des données du problème ? Exprimer la condition (1) comme une condition
sur X, puis l'écrire en fonction de p.
2. Exprimer la condition (2) en fonction de p (on fera un développement à l'ordre 1 en α du
résultat afin d'obtenir une valeur approchée simple).
3. Déterminer la valeur maximale acceptable pour p.
salut
et alors ?
la question 1/ est du niveau terminale (du moins la première partie) ensuite ton cours permet de la finir
la réponse à la première question ? On peut approcher X par une loi de Poisson mais quel est le paramètre
cours de collège : simplement que le quotient du nombres de bits erronés par le nombre total de bits est inférieur à 10^-6 ...
mais pour l'instant on en est pas là ...
pour l'instant on en est à :
mmalware @ 15-12-2018 à 16:54
1. On note X le nombre d'erreurs. Quelle est la loi exacte de X ?
Par quelle loi peut-on l'approcher au vu des données du problème ?
Exprimer la condition (1) comme une condition sur X, puis l'écrire en fonction de p.
1. On note X le nombre d'erreurs. Quelle est la loi exacte de X ?
Par quelle loi peut-on l'approcher au vu des données du problème ?
Exprimer la condition (1) comme une condition sur X, puis l'écrire en fonction de p.
Je ne sais pas comment faire pour déduire la loi exacte de X ...
désolé
j'ai de très gros problèmes en probabilités , je n'arrive pas à m'en sortir quand il s'agit de donner la loi que suit une Variable Aléatoire
en discret je connais : Loi uniforme , bernoulli , binomiale , géométrique , hypergéométrique et Poisson
En continue : Loi normale , loi normale centrée réduite ,exponentielle et uniforme .
Dans le cours il est écrit que la loi de Poisson sert à calculer le nombre d'apparitions d'un événement rare sur un intervalle de temps donné . Et puis je n'ai pas fait ça au terminal , je ne suis pas un étudiant français .
le problème est que je ne sais pas comment les données qu'on nous as donné dans a) et b) vont nous aider
ce n'est pas des données ce sont des contraintes donc on se fout de ces contraintes pour l'instant si on ne sait pas de quoi on parle !!!
ah d'accord .
Donc comme j'ai dit la variable X sert à déterminer la probabilité d'un nombre k d'erreurs se produisent .
Donc X suit une loi de Poisson , car l'apparition d'une erreur est considérée comme un succès . non ?
ha tristesse ... 
... la réponse est tombée toute seule ....
et il est évident que les paramètres sont donnés dans l'énoncé !!!
mmalware @ 15-12-2018 à 19:43
Donc comme j'ai dit la variable X sert à déterminer la probabilité d'un nombre k d'erreurs se produisent .
c'est une évidence !!! mais ça ne nous dit toujours pas quelle est a loi de X ... qu'on vient de te donner ...Donc comme j'ai dit la variable X sert à déterminer la probabilité d'un nombre k d'erreurs se produisent .
Il est écrit dans mon cours que la loi Binomiale sert a compter le nombre de succès obtenus au cours d'un schéma de Bernoulli . Un schéma de Bernoulli est une répétition de n épreuves de Bernoulli , n dans notre cas est 10^9. Donc je viens de comprendre que l'expérience est faite pour chaque bit , il y'a donc 10^9 expériences qui sont faites
carpediem @ 15-12-2018 à 17:38
trivialement pour chaque bit du fichier il y a deux issues : ....
plus de deux heures pour en arriver là ...
trivialement pour chaque bit du fichier il y a deux issues : ....
peut-être serait-il temps d'apprendre ton cours ... ou du moins le lire ...
Pour la deuxième question , il s'agit d'exprimer la condition a) sur X .
Comme vous m'avez dit la proportion des bits erronés est égale à : nombre bits erronés/ nombres total de bits .
j'obtient donc que le nombre d'erreur X doit être inférieur à 10^3 .
et pour l'écrire en fonction de p , je dois remplacer le k dans cette relation : P(X=k)=Combinaison (k parmi 10^9)*(p)^k*(1-p)^(10^9-k) par 10^3 non ??
sauf qu'on ne travaille pas avec la loi binomiale ... puisqu'on l'approxime par une loi de Poisson (question 1/)
même si ça ne change rien pour vérifier la contrainte a/
il est dit dans mon cours qu'on peut approcher la loi Binomiale par la loi de Poisson quand lambda qui est le paramètre de la loi de poisson est inférieur ou égale à 10 et quand n >=50
revois ton cours et relis le proprement ...
car s'il est effectivement écrit cela alors fais-en un feu de joie ...
pour n assez grand n>30 et pour p voisin de 0 tel que np(1-p)<=10
On peut approcher la loi binomiale B(n,p) par la loi de Poisson P(λ) où λ=np
Non ??
Pour la troisième question est ce que X va suivre la loi Binomiale de paramètre 1000 ?
et je devrais donc calculer P(X=0)>1-10^(-4)
Juste pour dire : l'espérance de X doit être inférieure à 1000 et des valeurs voisines sont acceptables, par exemple E(X)=500 convient.
On peut bien sûr approximer la loi de X par une loi de Poisson.
Mais ça ne me semble pas vraiment judicieux.
Bonsoir flight.
Ta proposition est inepte.
D'une part tu ne précises pas ce que sont n, 
et 
.
D'autre part l'inégalité de Tchebychev n'est certainement pas optimale dans ce cas.
Enfin elle ne permet de répondre à aucune des questions posées.
Alors je sais bien que je suis un ex-prof incompétent et aigri mais, contrairement à toi, je prend la peine de lire les questions.
Et je te signale que Pafnouti Lvovitch Tchebychev mérite une majuscule au début de son nom.
je dirais simplement:
1/ X: B(10^9;p) puis X: P(10^9*p) puis 10^9*p<=10^-6 puis p<=...
2/ P(X=0)=e^(-10^9*p)>=1-10^-4 puis p<=-ln(1-10^-4)/10^9
soit encore p<=10^-4/10^9 etc
3/ ...
Je suis sidéré.
Il y a certes écrit « loi de Poisson » dans le titre.
Mais qui manipule une loi de Poisson de paramètre 1 000 ?
La condition (1) se traduit par E(X)
1000=10-6/10-9.
On en déduit facilement une condition sur p.
Pour la question 2 on a une loi binomiale de paramètres 1000 et p.
Ici une approximation par une loi de Poisson est justifiée.
Mais je ne vois pas l'utilité de faire un DL, sauf si on veut faire du calcul mental.
P(X
0)=1-P(X=0).
je rejoins verdurin et c'est ce que j'ai écrit
carpediem @ 15-12-2018 à 20:11
sauf qu'on ne travaille pas avec la loi binomiale ... puisqu'on l'approxime par une loi de Poisson (question 1/)
même si ça ne change rien pour vérifier la contrainte a/
puisque l'espérance de la variable X suivant la loi B(n = 10^9, p) est le paramètre de la loi de Poisson approximant cette loi
sauf qu'on ne travaille pas avec la loi binomiale ... puisqu'on l'approxime par une loi de Poisson (question 1/)
même si ça ne change rien pour vérifier la contrainte a/
la contrainte a/ se traduit donc ensuite comme tu l'as fait E(X)/n < 10^-6 <=> p < ....
je reste d'accord avec verdurin concernant la suite du pb et son avis sur l'intervention de flight
calmer vous les gars !!!..... j'ai dis " peut etre que" ....ca veut bien dre ce que cela veux dire , pas aussi bete pour savoir que cela ne repond pas aux deux questions , de toute facon cette inegalité pourrait etre etudiée en plus ce que qui est demandé pour ce faire une idée de l'ecart existant entre la fréquence des erreurs de transmission et sa proba theorique ....elle a forcement ca place meme si c'est pas demandée ...