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Niveau seconde
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Exercice multiple, diviseur

Posté par
Stracth47
21-11-20 à 16:01

Bonjour, je m'entraîne comme beaucoup l'on vu sur mes derniers sujets, d'ailleurs ai-je le droit de faire beaucoup d'exercice et de les poster sur les forum( différents exercices, pas les mêmes !!) mais plusieurs fois, car j'ai fais plein d'ex sur les vecteurs, sans correction, et donc j'en ai posté plein...
Donc, là je m'entraîne sur un exercice sur les multiples et diviseurs, que voici :

Montrer que si n est un entier naturel impair alors 8 divise n carré − 1
Je l'avais déjà mis, mais avec une autre méthode... Là j'en est faut une autre :

On veut démontrer que 8 divise n au carré - 1
Considérons un entier naturel n impair sous la forme de 2 k +1,
On va donc élèver au carré 2k+1,soit
(2k+1)(2k+1)
(Je passe l'étape du développement pour gagner du temps)
Soit 4k carré +4k+1 et-1 car on veut démontrer que 8 divise n au carrée-1.
Or 1-1=0 et il reste plus que 4k carré +4k
Le seul nombre qu'on peut mettre en facteur lors de la factorisation de 4k carré +4k est 4, donc =4(k carré +k)
Problème, si 8 était en facteur on aurait déjà répondu "résolu" or 4 est en facteur et on aimerait bien que se soit 8, donc il faudrait 4k(k+1)( ou k est égal à 2) pour pouvoir le démontrer, on factorise (k carré +k) soit k (k+1) on rajoute le 4, soit 4k(k+1). Ainsi, si k est égal à deux, on a 4*2=8, soit 8(k+1), ainsi 8(k+1) est un nombre divisible par 8
En conclusion 8 divise n au carrée-1.

Ca fonctionne ou pas, je sais qu'il y'avait cette méthode sur mon cahier :

Par ailleurs, K&K + 1 sont deux entiers consécutifs dont l'un des deux (kou k+1)  et fort c'est mon pair.
le produit k(k+1)  est un multiple de 2
Et ainsi 4*k(k+1)  est un multiple de 2
conclusion : n au carrée-1 est un multiple de 8 (ou est divisible par 8)

Bon déjà sur l'exemple de mon cours, cela veut dire que tout multiple de 2 est multiple de 8. Car on dit 4k(k+1) est un multiple de 2
Pour moi avec cette méthode on dit juste que k=2 donc 4*2=8 soit 8(k+1)

Vous en pensez quoi ?

Posté par
manu_du_40
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 16:10

Bonjour,

c'est correct mais pas très bien rédigé sur la fin...

Citation :

Problème, si 8 était en facteur on aurait déjà répondu "résolu" or 4 est en facteur et on aimerait bien que se soit 8, donc il faudrait 4k(k+1)( ou k est égal à 2)

Je ne vois pas pourquoi k serait égal à2 ici ...

Pourquoi ne dis-tu pas directement, 4k^2+4k=4k(k+1)

Comme k et k+1 sont deux entiers consécutifs, il y en a un des deux qui est pair donc le produit k(k+1) est pair et on peut écrire k(k+1)=2k' (avec k' entier).
Finalement, n^2-1=4\times 2k'=8k' donc divisible par 8.

Posté par
azerti75
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 16:19

Bonjour,

manu_du_40 @ 21-11-2020 à 16:10

Bonjour,

c'est correct mais pas très bien rédigé sur la fin...



Non, ce qu'a écrit Stracht est faux.
C'est la démonstration de manu_du_40 qui est bonne.
Car Stracth47 a pris k = 2

Or,
manu_du_40 @ 21-11-2020 à 16:10




Je ne vois pas pourquoi k serait égal à2 ici ...

Posté par
azerti75
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 16:23

Stracth47 @ 21-11-2020 à 16:01

:

Bon déjà sur l'exemple de mon cours, cela veut dire que tout multiple de 2 est multiple de 8.

Faux, exemple 4 est un multiple de 2 mais pas de 8

Posté par
azerti75
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 16:32

Je te donne un exemple :
15 nombre impair, donc on peut écrire 15 sous la forme 2 k + 1

Donc 15 = 2 x 7 + 1 , donc k= 7

19 = 2 x 9 + 1 , donc k = 9, etc..
Donc tu ne peux pas dire k = 2

Posté par
Stracth47
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 16:38



Comme k et k+1 sont deux entiers consécutifs, il y en a un des deux qui est pair donc le produit k(k+1) est pair et on peut écrire k(k+1)=2k' (avec k' entier).
Finalement, n^2-1=4\times 2k'=8k' donc divisible par 8.


Ah oui, exactement, là je comprend mieux, je voulais arriver à 8 mais je ne savais pas de quelle façon et l'exemple dans mon cours.

Auriez vous un exercice de ce mêle style mais avec des nombres différents avec la même logique, car si dans mon contrôle y'a cette exemple, obligé ce sera avec des nombreq différents...

Posté par
manu_du_40
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 19:07

Bonsoir,

tu peux par exemple essayer de :

1) Montrer que le produit de trois nombres entiers consécutifs est divisible par 6.

2) Montrer que la somme de cinq nombres entiers consécutifs est un multiple de 5.

Posté par
Stracth47
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 20:45

1)
On veut montrer que le produit de 3 nombres entiers consécutifs est divisible par 6, considérons trois nombres entiers consécutifs sous la forme de K-1,k,k+1
On fait le produit de ces trois nombres entiers consécutifs., on n'a :
3k au cube.
Ainsi, dans k-1*k*k+1 le produit de ces trois nombres entiers consécutifs est un nombre pair puisque dans la somme de trois nombres entiers au moin un de ces nombres est pair.
Ainsi on note 2k k-1*k*k+1
Ainsi, 2k*3k au cube =6k puissance 4...

Bon je sais que j'ai faux mais si j'étais en contrôle j'aurai mis ça et j'aurai pas eu le temps de réfléchir, enfaîte ce qui me tenait c'est d'arriver à 6, pour cela j'ai voulu faire le puiduit de ces trois nombres entiers consécutifs, donc 3k au cube, mais 3k au cube ne donne rien, alors je me suis rappelé de mon erreur des exercices d'avant, alors je le suis dis "au moin un est pair, donc le produit est un nombre pair" donc =2k, alors après j'étais bloqué...



2)
On veut monter que la somme de 5 nombres entiers consécutifs est un multiple de 5, considérons 5 nombres entiers consécutifs sous la forme de k-1+k+k+1+k+2+k+3,on a =
5k+5.
Ainsi 5k+5 est un multiple de 5.
(exemple : 5*78+5=395 qui est un multiple de 5)
Conclusion : la somme de trois nombres entiers consécutifs est un multiple de 5

Posté par
manu_du_40
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 21:09

Re

Citation :
On veut montrer que le produit de 3 nombres entiers consécutifs est divisible par 6, considérons trois nombres entiers consécutifs sous la forme de K-1,k,k+1
.
Il est en général plus pratique de les appeler k , k+1 et k+2 mais ce que tu écris n'est pas faux en soi.

Citation :
On fait le produit de ces trois nombres entiers consécutifs., on n'a :
3k au cube.

Je ne comprends pas... D'où tu le sors ?



Je suis d'accord mais je ne vois pas où tu vois une somme...
Il faut maintenant que tu justifies clairement pourquoi parmi ces trois nombres, il y en a un qui est multiple de 3.
Ne développe pas et réfléchis à ce qu'il se passe lorsque tu multiplies 3 nombres consécutifs (tu peux commencer par des exemples... par exemple 3 ; 4 et 5 ou encore 10 ; 11 et 12 pour te mettre sur la voie).

Pour le n°2, c'est OK

Posté par
manu_du_40
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 21:10

oups j'ai mis des balises url dans mon post précédent au lieu de citer.

A la place de la petite maison, la citation était celle-ci

Citation :
Ainsi, dans k-1*k*k+1 le produit de ces trois nombres entiers consécutifs est un nombre pair puisque dans la somme de trois nombres entiers au moin un de ces nombres est pair.

Posté par
Stracth47
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 21:26

Oui j'ai fais avec des nombres on trouve un nombre pair à chaque fois divisble par 6(Sinon début j'écris k-1*k*k+1 car en cours dans des exercices on faisait ça, mais au collège on faisait k+k+1+k+2, donc j'ai choisi un des deux) et pour le produit, bah k-1*k*k+1=3k 1u cube car - 1+1=0 et k*k*k=k au cube, mais nan je suis bête c'est pas possible...

Donc j'ai k au cube d'un côté et 2k d'un autre côté...

Posté par
manu_du_40
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 21:29

Citation :
k-1*k*k+1=3k 1u cube car - 1+1=0 et k*k*k=k au cube


Il faut revoir les priorités opératoires de collège...
De plus , le produit de trois entiers consécutifs s'écrit (k-1)\times k\times (k+1) (ou bien  k\times (k+1)\times (k+2)  mais avec des parenthèses.
Sinon, c'est totalement faux bien sûr !!

Posté par
Stracth47
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 21:46

OK donc ce n'est pas k au cube, sinon je sais les priorités concernant la multiplication mais je l'avais écris comme ça sans réfléchir.
Sinon c'est (k+1)*(k+2)=k au Carrée +3k+2.soit k(k au carrée +3k+2)

Posté par
manu_du_40
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 21:50

Relis mon post de 21:09.
Développer n'est pas une bonne idée ici

Posté par
Stracth47
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 21:56

Dans les nombres consécutifs, il y'en à au moin in qui est pair, comme 44*45*46, 44 est pair. Et lorsqu'on les multiples on a un nombre divisible par 6

Posté par
Stracth47
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 21:56

Soit un nombre pair

Posté par
manu_du_40
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 21:58

Citation :
Dans les nombres consécutifs, il y en a au moins un qui est pair OK.
lorsqu'on les multiples on a un nombre divisible par 6 Explique pourquoi. Un exemple ne suffit pas.

Posté par
Stracth47
re : Exercice multiple, diviseur 21-11-20 à 22:13

"Un exemple ne suffit pas" oui mais c'est ce que j'essaye de faire depuis tout à l'heure...

Posté par
manu_du_40
re : Exercice multiple, diviseur 22-11-20 à 08:22

Je t'aide un peu :
un multiple de 2 est un nombre qui peut s'écrire sous la forme 2k (k entier)
un multiple de 3 est un nombre qui peut s'écrire sous la forme ....
un multiple de 6 est un nombre qui peut s'écrire sous la forme .... soit .....

Posté par
Stracth47
re : Exercice multiple, diviseur 22-11-20 à 09:04

Je sais, 3 * un entier k et pareil pour 6 mais c'est ce que je veux arriver, mais j'arrive pas à le faire

Posté par
manu_du_40
re : Exercice multiple, diviseur 22-11-20 à 10:37

Oui mais 6=3*2...
Donc dans k(k+1)(k+2) : il existe au moins un nombre pair (tu l'appelles 2p) et il existe un nombre divisible par 3 (tu l'appelles 3p').
(Note que celui qui est pair et celui qui est divisible par 3 peut être éventuellement le même nombre mais dans ce cas, il est divisible par 6 (puisque divisible par 3 et par 2)).

Tu peux donc écrire que k(k+1)(k+2)=2p*3p'*n où n est un entier ou encore
k(k+1)(k+2)=6pp'n

Posté par
Stracth47
re : Exercice multiple, diviseur 22-11-20 à 10:47

Ah ouai je me suis fais avoir comme ça...
Je voulais au début faire un 3*2=6 mais je ne savais pas comment...
Ce genre d'exercice fair tourner en rond pire qu'un Rubiks'cube...
Faut encore que je m'entraîne avec de nombreux exercices

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