Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (0 ; , vecteur v ). On considère les points A et B d'affixes respectives i et -i. (les placer)
Soit f l'application qui à tout point Mdu plan, d'affixe z distincte de -i associe le point M' d'affixe z' =  (1 + iz)/(z + i).

1. Quelle est l'image par l'application f du point O ?

2. Déterminer l'affixe du point C ayant pour image par f, le point C' d'affixe 2i. Placer C.

3.Déterminer l'affixe du point D ayant pour image par f, le point D' d'affixe 3. Placer D.

4.On pose z = x + iy ou x et y désignent deux nombres réels. Montrer que la partie réelle de z' est : (2x) / (x^2 + (y + 1)^2).
Quelle est la partie imaginaire de z' ?

5. Déterminer l'ensemeble E des points M du plan d'affixe z tels que z' soit un imaginaire pur. Tracer E en noir . Le point C appartient-il à E ? justifier

6. Déterminer l'ensemeble E des points M du plan d'affixe z tels que z' soit un réel (ne pas oublier que z-i donc MB . Tracer F en vert. Le point D appartient-il à F ? justifier.

Merci d'avance pour vos réponses et désolé pour les posts doublons !

*** message déplacé ***

Personne ne peut m'aider ?

1) z = 0
-> z' = 1/i = -i
L'image de O par f est le point d'affixe z' = i
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2)
z' = 2i
2i = (1+iz)/(z+i)
1+iz = 2iz - 2
iz = 3
z = 3/i
z = -3i
C a pour affixe z = -3i
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3)
z' = 3
3 = (1+iz)/(z+i)
1+iz = 3z + 3i
z(3-i) = 1-3i
z = (1-3i)/(3-i)
z = (1-3i)(3+i)/[(3-i)(3+i)]
z = (3+i-9i+3)/10
z = (6-8i)/10
z = 0,6 - 0,8i
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4)
z = x+iy
z' = (1 + i(x+iy))/(x+iy+i)
z'=(1-y + ix)/(x+i(y+1))
z'=(1-y + ix)(x-i(y+1))/[(x+i(y+1)).(x-i(y+1))]
z' = [x-i(y+1) - xy + i(y²+y)+ix²+xy+x]/[x²+(y+1)²]
z' = [2x-i(y+1-y²-y-x²)]/[x²+(y+1)²]
z' = [2x-i(1-y²-x²)]/[x²+(y+1)²]

La partie réelle de z' est 2x/[x²+(y+1)²]
La partie imaginaire de z' est (x²+y²-1)/[x²+(y+1)²]
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5)
z' est imaginaire pur, si sa partie réelle = 0
-> si x = 0
E est donc l'axe des imaginaires privé du point d'affixe -i (sinon le dénominateur = 0)

C fait partie de cet ensemble.
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6)
z' est réel si sa partie imaginaire est = 0, donc si: x²+y²-1 = 0 (et sans le point d'affixe -i qui annulerait le dénominateur).

x²+y²-1 = 0
x²+y² = 1
F est le cercle centré sur l'origine et de rayon = 1 privé du point d'affixe -i.
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Sauf distraction.