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exercice nommé la moyenne arithmético-géométrique (suite)
a et b désignent deux réels tels que 0<a<b
A. g=
(ab) est leur moyenne géométrique;
m=(a+b)/2 est leur moyenne arithmétique.
Démontrer que a<g<m<b
B. (an) n
et (bn)n sont les deux suites définies par:
_a0=a et 
n de, an+1=(anbn);
_b0=b et n de , bn+1=(an+bn)/2
1)a_ expliquer pourquoi pout tout n de , an< ou égale bn
b_ déduire de la question A. que la suite (an) est croissante et que la suite (bn) est décroissante.
c_ déduire de la question A. que: bn+an-2(anbn)<bn-an
puis que: bn+1-an+1< (ou égale) (bn-an)/2
d_En déduire que pour tout entier naturel n, bn-an<(b-a)/2^n
En deduire que les suites (an) et (bn) sont adjacentes.
2) avec une calculatrice ou un tableur, donner un encadrementd'amplitude inférieure à 10^-5, de la limite commune l aux deux suites (an) et (bn) dans chacun des cas suivants:
a)_a=1 et b=2
b)_a=1 et b=10
c)_a=2 et b=8
d)_a=0 et b=1000
INFO: On remarque a la question 2 ci dessus que la convergence des suites (an) et (bn) est extrémement rapide
Leur limite commune l est appelée la moyenne arithmético-géométrisue des nombres a et b.
Aidez moi je vous en pris je ne comprend vraiment rien du tout..... A l'aide
je n'ai pas encore trouvé pour m et g
mais en faisant remonter le pb. Peut être que quelqu'un sera inspiré
Si b>a RAC(b> RAC a
RAC(b)*RAC(a)> RAc(a)*RAc(a)
RAC(ab)> RAC(a²)
RAC(ab)> a
g>a
Si a<b RAC(a)<RAC(b)
RAC(a)*RAc(b)< RAC(b)*RAC(b)
RAc(ab) < RAC(b²)
RAC(ab)< b
g<a
on a<g<b
si a<b
a+b<b+b
a+b< 2b
a+b < b
----
2
m< b
si b>a
b+a>a+a
a+b> 2a
a+b
----> a
2
m> a
on a<m<b
Voir ici :
démonstration et ln
Estelle 
merci d'avoir de m'avoir aider pour la question a) j'ai compris mais je n'arrive toujours pas le grand B. Aidez moi svp..
1)
a) même chose que ce qui a été routé par STL.
RAC a0*b0< a0+b0
------
2
a1<b1
RAC a1*b1 < a1+b1
-----
2
a2<b2
etc pour a3,b3
etc
RACan-1*bn-1< an-1+bn-1
---------
2
an<bn
RAC an*bn < an+bn
-----
2
an+1< bn+1
b) an croissante bn décroissante
an+1/an=
RAC (an*bn) RAC(an)*RAC(bn)
-----------= ---------------
an an
= RAC(bn)
--------
RAC(an)
comme an<bn
RAC an< RAC bn
RAC(bn)/RAc(an)>1
donc an croissante
bn+1-bn=
an+bn -bn
-----
2
an+bn-2bn
--------
2
an-bn
-----
2
an<bn
an-bn<0
an-bn <0
-----
2
bn decroissante
Bonsoir,
Je repost ici car je dois effectuer le même exercice!
La question 1) d) me pose problème.
Merci pour vos indications.
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