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Exercice pas facile sur les complexes!
Bonjour à tous et merci d'avançe!
Soient A, B, C, trois points distincts deux à deux d'affixes respectives a, b, c. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral si et seulement si
a²+b²+c²-ab-ac-bc=0
(écrire que C est l'image de B par la rotation de centre A et d'angle 
/3 ou -/3)
Je ne peux pas utiliser l'écriture exponentielle d'un complexe mais utiliser la formule de rotation:
z'-
=f(
)(z-) où f()=cos()+isin()
Merci bien à ceux qui s'intéresse à mon sujet! 
est l'affixe de ton centre decrotation
et f(théta) doit avoir un module égal à 1 et un argument égal à l'angle de rotation.
Alors ???
Oui mais ceci a été prouver déja auparavant et je ne comprend pas trop votre question :s!
J'ai une question de méthode!
En considérant a²+b²+c²-ab-ac-bc comme un polynome du 2eme degré en a, puis en b, puis en y.
Je trouve alors deux expression de a deux expression de b et deux expression de c.
Ensuite en utilisant la rotation je retrouve ces formules (en supposant la rotation de /3 et de -/3.)
Est ce que la démostration est correcte?
Car je pars de l'hypothése et de ceux ke je souhaite trouver donc je ne sais pas si c'est convenable !!
J'ai écrit a-c =(1/2+irac(3)/2)(a-b)
J'ai développé et regroupé les termes sasni à gauche et les terme avec i à droite .
Puis j'ai élevé au carré et ca marche...
Désolé pour l'éciture je reprend en m'expliquant convenablement!!
Je pars donc de l'équation a²+b²+c²-ab-ac-bc=0
En supposant qu'il s'agit d'un polynôme du 2ème degré,en a par exemple, je trouve deux epressions de a en fonction de b et de c. Puis en utilisant le fait que le triangle est equilatéral et grâce au rotation d'angle -/3 et /3 de centre B je trouve le même resultat donc il y a équivalence mais comme je n'est jamais résonenr comme ça je ne sais pas si il s'agit d'une démonstration correcte!
Merci d'avance!
Grâce à votre méthode on prouve alors que si le triangle est équilatéral alors a²+b²+c²-ab-ac-bc=0 mais est ce qu'on prouve l'application réciproque cad que si a²+b²+c²-ab-ac-bc=0 alors le triangle équilatéral? Et pour votre méthode on ne doit pas reprendre ceci trois fois en choisissant une autre rotation ou bien c'est suffisant?
Est ce que l'équivalence est montrer avec votre méthode? Ou uniquement une implication?
oui,
je traites les deux cas simultanément .
a-c =(1/2+irac(3)/2)(a-b) (rotation de +60)
a-c =(1/2-irac(3)/2)(a-b) (rotation de -60°)
Quand je développe,à gauche (les termes sans i), j'ai le même terme, et à droite (termes avec i), j'ai deux valeurs opposée.
Ce qui me permet d'élever au carré en gardant l'équivalence.. Pigé ?
Ahh c'est comme lorsque on passe de x² à x en ayant deux racines opposés
rac(x²) et - rac(x²)?
Merci de s'intéresser à mon sujet!
Vas y .. regroupe les sans i à gauche et élève au carré .(Développe.)
a-c =(1/2+irac(3)/2)(a-b)
a-c =(1/2-irac(3)/2)(a-b)
Merci beaucoup pour votre aide!
:D
J'ai compris!
Me revoila!
Il y a comme même un point qui me paraît louche!
Je suis d'accord pour dire que cette méthode montre que:
Si ABC est équilatéral a²+b²+c²-ab-ac-bc=0
Mais je ne vois pas réellement si cette méthode prouve que:
ABC est équilatéral a²+b²+c²-ab-ac-bc=0
Oui , car a chaque étape il y a équivalence.
ABC equilatéral equivaut à B->C rotation 60° ou B-> rotation -60°, donc équivaut à (c-a)= f(60°)*(b-a) ou (c-a)= f(-60°)*(b-a).... d'où les deux écritures et l'élévation au carré , toujours par équivalence.
En effet (A=B) ou (A=-B) équivaut à A2=B2... C'est OK cette fois ?
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