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Niveau terminale
Exercice PGCD - Nombres premiers entre eux
Posté par cpoppy
Bonsoir à tous !
Je rencontre quelques difficultés à résoudre un exercice de maths expertes... Voici le sujet :
1. Soient a et b, deux entiers naturels non nuls tels que PGCD(a+b;a-b)=1. En utilisant le théorème de Bézout, montrer que a et b sont premiers entre eux.
2. Soit a et b des entiers relatifs premiers entre eux. Montrer que pour tout entier k, a+kb et b sont premiers entre eux.
Pour la question 1, j'arrive à débuter un raisonnement mais il n'utilise pas Bézout...
Supposons qu'il existe un entier k>1 tel que : k | a et k | b
k divise toute combinaison linéaire de a et b tel que :
k | a-b et k | a+b
De même,
k | u(a-b) + v(a+b)
Or PGCD(a-b;a+b) = 1 donc c'est impossible.
Pour la 2, mon raisonnement me semble totalement incorrect :
PGCD(a,b) =1
PGCD (a-b;b) =1
PGCD (a-b-b)=1
PGCD (a-2b-b)=1
...
PGCD(a+kb;b) = 1 mais cela ne fonctionne que pour k négatif et pas pour tout entier...
Voilà, je vous remercie par avance pour l'aide pour vous pourriez m'apporter. Je vous souhaite une bonne soirée.
salut
PGCD(a+b;a-b)=1 <--> il existe U et V dans Z tel que (a+b)U +(a-b)V= 1 ...à toi
le but est d'arriver à mettre sous la forme aP +bQ = 1 .. pas difficile
pour la question 2 , pose pgcd(a+kb,b)= d (le but etant de prouver que d=1)
si d divise a+kb et d comme divise b alors .....à toi
Merci beaucoup pour votre réponse 
Je pense m'être mal exprimée, j'ai justement essayé d'appliquer Bézout avant de changer de méthode mais je n'arrivais pas à trouver les coefficients de U et V. Je sais qu'il s'agit d'une réponse toute bête mais intuitivement elle ne me vient pas du tout à l'esprit.
Pour la question 2, si je dis que d | a+kb et d | b, je ne comprends pas pourquoi je peux dire que d=1 ? Si b était premier je pourrais l'affirmer mais ce n'est pas le cas...
Je suis vraiment désolée, je sais que ces questions sont très simple, je comprends plus ou moins le raisonnement attendu, mais je n'arrive pas à le mettre en application.