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Exercice Pgcd + suite
Posté par ilemaths1987
Bonjour, je bloque sur ce devoir maison noté, j'ai vraiment besoin d'aide.
Énoncé : La prochaine pleine lune est dans 6 jours (28 mars) et le prochain solstice d'été est dans 91 jours (21 juin). Pour simplifier le problème on va supposer que la pleine lune Reviens tous les 29 jours et qu'il y a 365 jours dans une année.
Nous devons donc trouver le nombre de jours vérifiant:
n congrue à 6 [29]
n congrue à 91 [365]
1) Justifier que résoudre ce système revient à résoudre l'équation (E) d'inconnus (u;v) € Z:
29u-365v=85
2. Justifier que cette équation ( E) admet des solutions.
3. Déterminer une solution particulière de (E).
4. Résoudre l'équation (E).
5. Résoudre au problème posé.
Je suis bloqué à la première et deuxième question malheureusement donc si quelqu'un peut m'aider s'il vous plaît à trouver la bonne voie, merci.
Bonjour
1)
n = 6+29u
n=91+365v
Je vous laisse continuer...
2 si deux nombres a, b sont premiers entre eux
l'équation ax+by = 1 a au moins une solution (Bézout),mais si on multuplie l'équation par 85. on verra aussi des solutions. A détailler.
Bonsoir, merci beaucoup pour votre aide. Pour le premier je trouve donc que:
n=6+29u
n=91+365v
Donc,
91=n-365v
91=6+29u-365v
91-6=6+29u-365v-6
85=29u-365v
Donc voilà pour le 1, mais pour le deux je reste bloqué puisque pour utiliser le théorème de Bezout je ne comprends pas comment faire puisque je tombe sur des nombres trop grand pour une réponse évidente, alors j'ai utilisé le théorème d'Euclide mais j'ai alors trouvé 1 en diviseur commun de 365 et 29 et j'ai trouvé donc qu'ils sont premier entre eux et je comprends pas comment prouver l'existence à partir d'ici de plusieurs solutions, pour les autres questions je pense y arriver une fois celle ci débloqué, merci d'avance.
Bonjour
Puisque 365 et 29 sont premiers entre eux il existe x et y tels que 29x + 365y = 1 .(éq) On ne précise pas x et y , ce n'est pas demandé.
Posons u=85x et v = 85y. En multipliant (éq) par 85 je trouve 29u +365v = 85. Il existe donc bien un couple (u,v) solution!!!
On appelle ça un problème d'existence. (Déjà vu pour le TVI).
Le problème est reporté au 3)
Il faut trouver une solution de 29u +365v = 85. Il y a un truc qui marche souvent, c'est d'observer qu'alors u =(85- 365v)/29.
Si on fait la table de Y = (85-365X)/29. On peut trouver un X tel que Y soit entier.
Vérifiez ensuite que les valeurs trouvées vérifient bien l'équation du 3)
A vous de continuer.
Bonjour,
L'énoncé est incomplet :
Citation :
Pour simplifier le problème
Quel problème ?
Pour simplifier le problème
Citation :
Nous devons donc trouver le nombre de jours vérifiant
Pourquoi ?
Nous devons donc trouver le nombre de jours vérifiant
Pour que la pleine lune arrive un 21 juin ?
Si oui, je trouve dans environ un quart de siècle.
Bonne remarque de Sylvieg. J'aurais dû le dire. Mais cela n'empêchait pas de démarrer l'exo. Bonne journée à tous.