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Exercice phénomène évolutif

Posté par
Imon
03-05-20 à 14:14

Bonjour !
J'ai un exercice que je n'ai pas du tout compris.

On s'intéresse ou femelle d'une population de saumon qui ne peut vivre plus de 3 ans. 56 % des femelles survivent la première année et 23 % la deuxième. On sait de plus que chaque femelle donne naissance à 4 femelles au cours de sa deuxième année et 6 femelles au cours de sa troisième année.
On note respectivement Pn, Dn, et Tn le nombre nombre de saumon après n année dans leur première deuxième et troisième année
a) Établir les relations de récurrence permettant de déterminer Pn+1, Dn+1 et Tn+1 en fonction de Pn, Dn et Tn.
b) montrer que pour tout nombre entier naturel n : ( Pn+1  Dn+1  Tn+1) = ( Pn Dn Tn) x M
avec une matrice carré M que l'on précisera.
c) on admet que pour tout nombre entier naturel n : ( Pn  Dn  Tn) = ( P0 D0  T0 ) x M^n
Initialement il y avait dans la population 5 femelles dans leur première année de vie 4 dans leur deuxième année et aucune dans leur troisième déterminer le nombre de femelle dans chaque classe d'âge au bout de 16 ans en déduire la proportion de saumon femelle dans chaque classe au bout de 16 années.

d)Déterminer de même la proportion de saumon femelle dans chaque classe au bout de 17 années
Que peut-on conjecturer ?

Je peux pas mettre ce que j'ai déjà fait car je ne comprends même pas la 1ère question Je suis totalement perdu :/
Si quelqu'un veut bien m'aider
Merci

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice phénomène évolutif 03-05-20 à 16:33

Bonjour
c'est certain que avec un énoncé où certains mots ont disparu et d'autres écrits en double, ça n'aide pas à la compréhension
(il faut se relire attentivement avant de cliquet sur Poster)

pour mieux comprendre on peut commencer par voir ce que ça donne "en numérique" sur un exemple

Citation :
Initialement il y avait dans la population 5 femelles dans leur première année de vie 4 dans leur deuxième année et aucune dans leur troisième

c'est à dire P0 = 5, D0 = 4 et T0 = 0

cette années là chacune d'elles devient plus agée d'un an, ou meurt
T1 = 0.23* D0 : 23% de celles de deux ans survivent et deviennent des "3 ans" et celle de 3 ans "meurent"
D1 = 0.56*P0 : 56% de celles de 1 an survivent et deviennent des "2 ans" et les D0 de 2 ans deviennent des "3ans" ou meurent
maintenant celles de 1 an
sont celles qui ont été produites par les anciennes
les P0 jeunes saumons de moins de deux ans n'ont rien produit
les D0 de deux ans ont chacune produit 4 nouvelles au cours de leur deuxième année
les T0 de trois ans ont chacune produit 6 nouvelles au cours de leur troisième année
et donc P1 = 4D0 + 6T0

soit P1 = 4*4 + 6*0 = 16
D1 = 0.56*5 = 2.8 que on devrait arrondir à 3 (des saumons entiers !!) mais que on n'arrondira pas pour poursuivre les calculs des années d'après
et T1 = 0.23*4 = 0.92 même remarque
les pourcentages sur une si faible population initiale ne veulent pas dire grand chose ...


à toi de poursuivre
en littéral avec Pn, Dn, Tn
en application numérique pour les questions c) et d)

Posté par
Imon
re : Exercice phénomène évolutif 03-05-20 à 18:31

Merci beaucoup !
C'est vrai que quand c'est "traduit" c'est déjà plus compréhensible.
Désolé pour les mots manquant je me suis relu très promptement 😂

Juste pour la question b) la Matrice M est une matrice de transition ?  Je ne sais pas quelles données utiliser...

Posté par
Imon
re : Exercice phénomène évolutif 03-05-20 à 18:44

J'ai trouvé
  
          0    0.56      0
M = 4       0       0.23
          1       0          0

(désolé je ne sais pas comment écrire une matrice sur ce site)

Posté par
mathafou Moderateur
re : Exercice phénomène évolutif 03-05-20 à 19:32

ta matrice correspond à Pn+1 = 0*Pn + 4 Dn + 1 Tn

erreur d'inattention sans doute (+ 6 Tn)

pour écrire une matrice "on va dire" que la "dessiner" ainsi est acceptable
mieux serait de mettre des ( ) :
il m'est impossible de te montrer comment car je ne peux pas mettre plusieurs espaces à la suite comme toi (ni même citer ton messages les contenant) :
ils sont effacés pour les modérateurs, "bug ou feature" du site

sinon il faut écrire en LaTeX :

\begin{pmatrix}P_{n+1} ,&D_{n+1}, & T_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}P_{n}, &D_{n}, & T_{n}\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}0 & 0.56 & 0\\ 4& 0& 0.23\\ 6& 0& 0\end{pmatrix}

en utilisant l'éditeur LaTeX
Exercice phénomène évolutif

Posté par
Imon
re : Exercice phénomène évolutif 03-05-20 à 20:30

D'accord merci beaucoup !
Je saurai la prochaine fois du coup



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