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Exercice physique sur les séries

Posté par vendredi (invité) 20-04-07 à 23:54

Bonsoir,

De l'exercice pour tous. Il n'y a pas d'heure...

1) Soit \sum a_n une série positive convergente. Montrer qu'il existe (et caractériser) une suite (b_n) tendant vers +\infty telle que \sum a_n b_n converge.

2) Soit \sum a_n une série positive divergeant vers +\infty. Montrer qu'il existe (et caractériser) une suite (b_n) tendant vers 0 telle que \sum a_n b_n diverge vers +\infty

Posté par
robby3Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 00:02

Bonsoir,
pour la 1) je pense à an=1/n² et bn=ln(n)

et la 2) an=exp(n) et bn je sais pas.

Posté par
robby3Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 00:03

ceux sont pas des produite de Cauchy au moins?

Posté par vendredi (invité)re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 00:11


Salut Robby3!

(Ici un ex bordelais, et un exo du cru de Talence! Comme le précédent.)

Ce ne sont pas des produits de Cauchy.
Dans l'exo, tu n'as pas de droit de prendre un cas particulier. La série
est quelconque! Ca complique sérieusement...

Posté par
robby3re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 00:15

comme tu dis ça se complique! Sans doute trop pour moi d'aileurs
Bonne soirée Vendredi (mon jour préféré de la semaine!
1)j'ai pas cour
2)c'est le début du Week end!)

Posté par
robby3re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 00:22

euhh excuse moi vendredi,ton prénom se serait pas Guillaume?

Posté par vendredi (invité)re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 00:25

Non, c'est JF. Mais tu pensais à qui ?
Je suis un ancien...

Posté par
robby3re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 00:31

Non mais comme j'ai vu que tu étais prof et que tu étais à Montpellier, je pensais que tu était mon prof de TD d'algebre qui connait bien les sites de maths: il se nomme Guillamue Ricotta et il a fait une partie de son cursus aprés la prepa à Montpellier donc je me suis dis que éventuellement t'aurais pu etre lui.

(tu connais Alain Yger ou Alain Heinault)

Posté par
Cauchyre : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 00:34

J'ai lu physique j'ai failli pas ouvrir,mal m'en aurait pris

Posté par vendredi (invité)re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 00:56

> robby3: je ne serais JAMAIS prof de TD d'algèbre
Je connais A. Heinault un peu, et A. YGer fut mon co-directeur de thèse!
Même si je suis issu des maths appliquées (signal, imagerie médicale...)
Il s'intéress(ait)e à ça, même en tant qu'analyste pluri-complexe

> Cauchy: content que cela t'amuse... il n'y a pas d'heure

Posté par
robby3re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 00:59

>Vendredi Ok! donc voilla tu connais mon prof d'algebre et d'analyse(remarque j'y ai mis les pieds rarement en algebre!! impossible de suivre un cours avec Heinault

>tout le monde: Bonne nuit!

Posté par
Cauchyre : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 01:05

Citation :
je ne serais JAMAIS prof de TD d'algèbre


C'est sympa pourtant

Bon une idée qui vaut ce qui vaut vu que j'en ai pas d'autres la

On sait que 3$a_n converge vers 0,donc pour tout 3$k>0,
3$(a_n)^{k} également.

D'ou:3$\frac{1}{a_n^{k}} tend vers +inf,bon il faut supposer que 3$a_n ne s'annule pas

Après il faudrait trouver 0<k<1 tel que:3$\sum a_n^{1-k} converge.

Je sais pas si je suis bien parti

Posté par
Cauchyre : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 01:05

Citation :
mpossible de suivre un cours avec Heinault


Pourquoi?

Posté par vendredi (invité)re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 01:06

Bonne nuit robby!
Et le bonjour à tous ces messieurs... quand tu te décideras à suivre
leurs enseignements ...

Posté par vendredi (invité)re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 01:08


Citation :
Pourquoi?


A mon avis, il doit planer... comme beaucoup
Alors Cauchy ? Cet exo ?

Posté par vendredi (invité)re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 01:32

Citation :
Je sais pas si je suis bien parti


D'après toi ? La, on est un peu coincé, non ?

Posté par
Cauchyre : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 01:42

Un ti peu oui

Posté par vendredi (invité)re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 01:52

OK, on est coincé.

Il faudrait faire en sorte que l'hypothétique suite (bn) dépende de (an) de manière un peu plus forte...
(facile, quand on sait la réponse! )

Posté par
Cauchyre : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 02:06

Ok,je verrais ca demain

Bonne nuit

Posté par
ottore : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 02:16

Salut,
à noter que la première question est la pierre angulaire d'un résultat essentiel du à Fatou et qui a permis de caractériser les mesures analytiques (théorème de F. & M. Riesz).

Il ne faut pas chercher très loin, une suite en "plateau" suffit

Posté par
robby3re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 12:18

Re

parce qu'avec Monsieur Heinault, c'est la folie en amphi, je suis certain qu'en TD il doit mieux expliquer mais alors en amphi c'est incroyable,je l'ai eu en élément de géométrie et en algebre et c'est la meme,il a pourtant un enseignement dynamique mais ses explications,sa rigourosité au niveau de ses inscriptions au tableau laisse à désirer;ce qui fait que pour ces cours bah j'ai pris des bouquins.

Yger c'est pas pareil, il recopie au tableau le livre qu'il met à la disposition des éleves sur son site...

Posté par vendredi (invité)re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 14:31

Salut Otto,

Pourrais-tu expliciter le résultat de Fatou ou donner le lien web, ça m'intéresse.

Sinon, la démo que je connais est un peu rustique. Il doit surement y en avoir une autre, plus subtile...
Et un résultat plus général l'incluant. C'est peut-etre le cas pour ta preuve ?
Attendons un peu tout de même, Cauchy planche sur le problème

A+

Posté par
ottore : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 14:40

Je ne donnerais pas la solution du problème pour que Cauchy y travaille encore

Le théorème de Fatou auquel je pense est le suivant:

Soit E un sous ensemble fermé du cercle unité T et de mesure nulle.
Alors il existe une fonction f sur le disque unité telle que:

1- f soit continue sur D barre
2- f soit holomorphe sur D
3- |f|<1 sur D
4- f(t)=1 pour t dans E
5- f(t)<1 pour t dans T\E

Ceci permet de montrer le résultat fondamental suivant:

Soit mu une mesure dont les coefficients de fourier sont tous nuls à partir d'un certain rang (ou jusqu'à un certain rang, peu importe, on peut s'y ramener sans problème), alors mu est absolument continue (par rapport à la mesure de Lebesgue).

On parle de mesure analytique pour une mesure dont les coefficients de Fourier négatifs sont nuls.

C'est le théorème des frères Riesz.
Une bonne référence serait le livre de Paul Koosis.
a+

Posté par vendredi (invité)re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 21:34


Dès que je peux, j'essaie de me représenter tout cela un peu mieux.
Je vois un exemple avec E={1} et f(z)=exp(z-1).
Pas plus de réflexion pour l'instant ...

Quelles sont les applications de ce théorème des Riesz brothers ?

Une indication pour ceux qui cherchent (bn) :

1) Si la série des (an) converge, alors il y a une quantité dépendant de la suite (an) qui peut être utilisée.
Mais ça ne peut surement pas être le terme général... On sait qu'il tend vers 0 assez vite, mais pas beaucoup plus...
Penser aux séries de Bertrand: ça coince un peu...

2) Même idée.

Posté par
ottore : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 21:39

Les exemples sont très nombreux si on travaille avec les espaces de Hardy.
Notamment, ca permet de montrer directement que H^p(\mathbb{D}) est isométriquement isomorphe à un sous espace fermé de L^p(\mathbb{T}).
Lequel? Celui des fonctions à dont le spectre négatifs des coefficients de Fourier est nul.

Ca permet de donner un équivalent du théorème de représentation de Fatou mais pour les espaces de Hardy et non plus les espaces h^p.

Si tu n'es pas familier avec tout ca, alors vas faire un tour sur Wikipedia.

a+

Posté par
Cauchyre : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 22:10

Rebonjour à tous,

je crois que j'ai trouvé en utilisant le reste de la série convergente(hier je m'ennuyais avec des tranches autant y aller franchement),

donc on a:

3$R_n=\sum_{k \geq n} a_k \rightarrow 0

ainsi pour tout 3$a>0,R_n^{a} \rightarrow 0 en décroissant.

On considère maintenant 3$b_n=\frac{1}{R_n^{a}} et on essaye de majorer les sommes partielles de 3$\sum_{k=0}^{n} a_nb_n.

On a:

3$\frac{a_n}{R_n^{a}}=\frac{R_{n}-R_{n+1}}{R_n^{a}} \leq \int_{R_{n+1}}^{R_{n}} \frac{1}{t^a}dt d'ou:

4$\sum_{k=0}^{n} a_kb_k \leq \int_{R_{n+1}}^{R_0} \frac{1}{t^a} dt\leq \int_{0}^{R_0} \frac{1}{t^a} dt < +\infty si je prend 4$a<1.

Posté par
Cauchyre : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 22:36

Pour la deuxième question,on considère cette fois les sommes partielles:

3$S_n=\sum_{k=0}^{n}a_k alors:

3$\frac{1}{S_n} \rightarrow 0 en décroissant.

3$ \sum_{n=p+1}^{q}\frac{a_n}{S_n} \geq \frac{u_p+\cdots+u_{q}}{S_{q}} \geq \frac{S_{q}-S_{p}}{S_{q}} \geq 1-\frac{S_{p}}{S_{q}}

Ensuite pout tout 3$p il existe 3$q tel que :3$\frac{S_p}{S_q} \leq \frac{1}{4} d'ou:

3$1-\frac{S_{p}}{S_{q}} \geq \frac{3}{4} et donc:

pour tout 3$p il existe 3$q tel que:

3$\sum_{n=p+1}^{q}\frac{a_n}{S_n} \geq \frac{3}{4} donc la série diverge car ne vérifie pas le critère de Cauchy.

Posté par vendredi (invité)re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 22:54

Mais il trouve toujours tout, Cauchy !!

Pour la 2), c'est joli. Mais tu peux aussi reprendre la 1)
avec l'intégrale de Riemann en +infini...

Bien joué !


Posté par
Cauchyre : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 23:02

Citation :
Mais il trouve toujours tout,


Pas vraiment

Merci

otto tu pourrais préciser si t'avais une autre facon de faire?

Citation :
il a pourtant un enseignement dynamique mais ses explications,sa rigourosité au niveau de ses inscriptions au tableau laisse à désirer


Je vois mais desfois même si tout est pas super écrit(même carrément à l'arrache),j'ai eu des profs comme ca mais qui faisaient bien passer les idées oralement donc ca peut être utile d'y aller

Posté par vendredi (invité)re : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 23:18


Et quand il y a un poly, le plus utile reste quand-même les explications du prof! Il peut se lacher, et s'amuser un peu... Si c'est communicatif...

Posté par
Cauchyre : Exercice physique sur les séries 21-04-07 à 23:21

Oui j'ai un prof comme ca qui donne un poly il écrit un peu à l'arrache au tableau comme le dit robby par contre ses explications sont extra donc ca vaut le coup d'y aller.

Moi je préfère ca d'ailleurs à un cours monotone ou je vais noter grand 1,petit a),alinéa b) mais ou le prof s'amuse pas


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