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exercice polynomes-suite périodique prépa ECS 2ème année

Posté par
kawakhon 02-11-07 à 17:46

Bonjour à tous,
voila un ptit besoin de coup de pouce pour mon DM de maths pour la rentrée dont l'exercice porte sur un mélange entre suite périodique et polynome.
Voici l'énoncé :
Soit n0 , (Un)n est une suite de période p2 càd Un+p=Un
1-Soit x € [0,1[ montrer que la série de terme général Unxn converge (attention aux signes!).
Et si x=1 dans quel cas la série de terme général est elle convergente?

On note f(x)=\sum_{n=0}^\infty Unx^n
        P(X)=\sum_{n=0}^{p-1} Unx^n
2-Exprimer (1-xp)f(x) à l'aide de P(x)

Pour 1- on voit que la série n'est pas une série connue, les th de comparaisons ne semblent pas etre possibles mais je n'arrive pas à appliquer la monotonie.Mais aux vues de la fin de l'exercice je pense que la série converge vers 0. Mais comment le prouver?
Pour 2- j'ai trouvé la relation (1-xp)f(x)=P(x)

Merci d'avance pour toute aide.

Posté par
lafol Moderateurre : exercice polynomes-suite périodique prépa ECS 2ème année 02-11-07 à 19:44

Bonjour
tu peux regrouper les termes par paquets de p : tu retrouveras toujours U0, U1, U2 ...U_{p-1}, et en mettant en facteur des puissances de x^p, tu peux écrire ta série comme un multiple d'une géométrique convergente, si je ne m'abuse.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exercice polynômes-suite périodique prépa ECS 2ème année. 02-11-07 à 22:08

Bonsoir ;

En notant \fbox{M=\max_{0\le k\le p-1}|u_k|} on vérifie facilement que \fbox{(\forall n\in\mathbb{N})\hspace{5},\hspace{5}|u_n|\le M}
et on voit alors que \fbox{(\forall x\in[0,1[)\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N})\hspace{5},\hspace{5}|u_n|x^n\le Mx^n}
ce qui prouve que pour tout x dans [0,1[ , la série \Bigsum_{n\ge0}u_nx^n est absolument convergente .

Une condition nécessaire de la convergence de la série \Bigsum_{n\ge0}u_n et que u_n tende vers 0 à l'infini ,
et comme elle est périodique ... (sauf erreur)

Posté par
lafol Moderateurre : exercice polynomes-suite périodique prépa ECS 2ème année 02-11-07 à 22:29

EN fait, P(x) est ce que je voulais mettre en facteur dans mes "paquets"

Posté par
kawakhonre : exercice polynomes-suite périodique prépa ECS 2ème année 03-11-07 à 11:40

Merci, mais puisque le suite Un est périodique n'est il pas impossible qu'elle admette 0 pour limite en l'infini?
Ou alors peut etre faut il étudier la suite |Un|?
A votr avis ma relation au 2- est elle juste?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exercice polynômes-suite périodique prépa ECS 2ème année. 03-11-07 à 12:02

Supposons que u_n tende vers 0 à l'infini et soit i\in\{0,..,p-1\} tel que M=|u_i| alors ,
la suite (|u_{n+i}|)_{n\in\mathbb{N}} tend aussi vers 0 à l'infini (sauf erreur)

Posté par
kawakhonre : exercice polynomes-suite périodique prépa ECS 2ème année 03-11-07 à 12:13

en tant que suite extraite?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exercice polynômes-suite périodique prépa ECS 2ème année. 03-11-07 à 13:13

Oui.

Posté par
kawakhonre : exercice polynomes-suite périodique prépa ECS 2ème année 03-11-07 à 14:05

merci pr tout

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exercice polynômes-suite périodique prépa ECS 2ème année. 03-11-07 à 14:09

Pas de quoi


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