bonjour : )

L'énoncé complet c'est quoi ?

Si c'est ça ton énoncé, tu peux étudier quand est-ce que ce complexe est réel, quand est-ce qu'il est imaginaire pur.

Tu pourras aussi étudier les points fixes l'application définie par f(z) = (z + 1)/(z - 1)

L'énoncé complet est celui-ci ^^
Effectivement je penses que je devrais remplacer z par (a+ib) ? et isoler le reel et l'imaginaire et déterminer ainsi l'imaginaire pure et le réel pure

Un réel pur ça ne se dit pas. On dit un réel tout court.

Un point fixe d'une fonction f est un point qui vérifie l'équation f(x) = x avec x dans D_f.
Il est dit fixe car l'image par la fonction est égale à l'antécédent. Graphiquement le point a son abscisse et son ordonnée égaux.

salut

posons f(z) = (z + 1)/(z - 1)

si |z| = 1 alors f(z) est imaginaire pur et on retrouve le théorème de Pythagore (triangle rectangle dont l'hypoténuse est le diamètre d cercle circonscrit)

considérer les Points A, B et M d'affixe 1, -1 et z ...

Tu peux ignorer ce message et te concentrer sur ce que je t'ai écrit dans mon premier message.
Tu retrouveras ce résultat.

Bon je viens de remplacer z par z=x+iy

Au final je trouve ((x²+y²-1)/((x-1)²+y²))-((2y)/((x-1)²+y²))i
Est-ce bon ?

Oui, continue.

Il serait bien, d'indiquer l'ensemble de définition aussi avant de poursuivre.

R\{1} avec D=]-inf;1[U]1;+inf[
donc distinct de 1...

Apres on isole la partie reel et la partie imaginaire ...
Pour trouver le réel
avec Im(Z)=0
Donc -((2y)/((x-1)²+y²))i =0

Ce qui donne y=0 pour tout x#1
???

Euhm non.

On travail avec des complexes. Le domaine est donc ici , z peut prendre n'importe quelle valeur complexe excepté 1.

Donc Z est réel lorsque sa partie imaginaire est nulle c'est à dire lorsque y = 0 et x différent de 1.
Quel est cet ensemble de point ?

Ok mais est-ce que déjà toute les réponses que jai mis precedement sont justes ?

PS je reviens je vais manger ^^

Oui. Sauf le domaine de définition que j'ai corrigé.

Bon appetit : )

pour l'ensemble de définition on travaille dans C et pas dans R ...

ensuite il serait bien de préciser dans quel cadre ton prof t'a posé cette question : après quel cours/exercice ?


il est évident que si z est réel alors f(z) est réel ...

ensuite il est inutile de passer par la forme algébrique pour répondre à la question de mdr_non et surtout pour s'approprier les propriétés des complexes

en notant Z = (z + 1)/(z - 1) et z* le conjugué de z


Z est réel <=> Z = Z* <=> (z + 1)(z* - 1) = (z* + 1)(z - 1) <=> z* - z = z* - z <=> z* = z

donc Z* est réel <=> z est réel


Z est imaginaire pur <=> Z* = - Z <=> (z* + 1)(z - 1) = -(z* - 1)(z + 1) <=> zz* = 1 <=> |z| = 1

donc Z est imaginaire pur <=> M appartient au cercle trigonométrique <=> le triangle ABM est rectangle en M

L'ensemble des points est la droite d'équation y=0, privée de son point d'abscisse x=1 .

Autrement dit, l'axe des réels privé du point de coordonnées (1 , 0).

Oui c'est bien ca ^^, après avoir fait ceci, qu'est-ce que je peux rajouter ?
C'est quoi l'histoire du triagnle ?

Et bien tu n'as pas fait le cas où Z serait imaginaire pur. Puis l'ensemble des points est... etc.

Je narrive pas a faire pour l'imaginaire

Révise l'équation d'un cercle. C'est ce qu'il faut utiliser.

D'accord mais l'imaginaire est sous forme de fraction

Qu'est-ce qui se passe ?

Pour le cas Z réel aussi c'était sous forme de fraction. Un quotient s'annule si et seulement si son numérateur s'annule.

z = x + iy avec (x , y) (1 , 0)
Z est réel -2y = 0
Z est imaginaire pur x² + y² - 1 = 0

Euh ...
Bon ce que jai fait
On cherche le reel tel que Im(z)=0
<->Im(z)=0
<-> -((2y)/((x-1)²+y²))i =0
<->|-2y=0
        |(x-1)²+y²#0
<->|y=0
        |(x-1)²#0
<->|y=0
        |x#1
L'ensemble des points est la droite d'équation y=0, privée de son point d'abscisse x=1 .
Autrement dit, l'axe des réels privé du point de coordonnées (1 , 0).

Maintenant il faut faire tel que Re(z)=0
Mais comment je fais pour utiliser lequation de cercle cest sous forme de fraction  ...

Je viens juste de t'écrire qu'un quotient s'annule si et seulement si son numérateur s'annule.

Quand on étudie les valeurs qui annulent un quotient, on ne tient pas en compte son dénominateur, c'est inutile.

b 0.
a / b = 0 a = 0*b = 0
Vois-tu qu'on s'en fout de b ?
Par la bonne définition du quotient b ne peut jamais s'annuler. Inutile de le trainer dans les équivalences.

z = x + iy avec (x , y) (1 , 0)
Z est réel -2y/[(x - 1)² + y²] = 0 -2y = 0
Z est imaginaire pur (x² + y² - 1)/[(x - 1)² + y²] = 0 x² + y² - 1 = 0

x² + y² - 1 = 0

Donc si on utilise l'équation de cercle
(x-0)²+(y-0)²=0²

x² + y² - 1 = 0
x² + y² = 1
(x - 0)² + (y - 0)² = 1²

Ah oui je l'avais oublier
(x - 0)² + (y - 0)² = 1²

donc si x=0
y²=1²  y=rac(1)

si y=0
x²=1² donc x=rac(1)

Mais non que fais-tu.

Pourquoi tout à coup remplacer x par 0 ou y par 0 ?

Z est imaginaire pur x² + y² - 1 = 0 Le point M(x , y) appartient au cercle de centre O(0 , 0) et de rayon 1 privé du point (1 , 0).

Je pense que tu n'as pas compris que ce qu'on cherche c'est un ensemble de points.

On cherche l'ensemble des points d'affixes z = x + iy avec z 1 tels que Z est imaginaire pur.
On trouve que Z est imaginaire pur si et seulement si x² + y² = 1 c'est à dire si et seulement si le point d'affixe z = x + iy appartient au cercle trigonométrique privé du point (1 , 0).


De même que précédemment on recherchait les points d'affixes z = x + iy avec z 1 tels que Z est réel.
On a trouvé que Z est réel si et seulement si y = 0 et x réel différent de 1, c'est à dire si et seulement si le point d'affixe z = x + iy appartient à l'axe des réels privé du point (1 , 0).

Mais cest tout ce qu'il faut faire ??

Je croit que je me suis perdu, sa ressemble a un gros brouillon ...

salut,
ton prof a serieusement donne cet enonce en probleme ouvert ?

Oui, exercice de prise d'initiatives ...

Bon je m'arrete pour ce soir (la fatigue se fait sentir...) je reprendrai ceci demain, que je finirai...

on apres avoir cherché l'imaginaire pure, que peut-on faire de plus ???

Tu peux relire mes message j'ai proposé autre chose.

Si tu as compris ce que tu as fait tu peux maintenant comprendre le message de carpediem, il te montre par ailleurs qu'il n'était pas nécessaire de passer par la forme algébrique pour répondre à ces questions.

Oui pour le conjugué je pense avoir compris (au passage l'asterix * signifie bien une barre, pour Z(barre) ) ???

En revanche jai pas compris l'histoire du triangle rectangle, Pythagore et tout ca

Il faut peut etre cherché l'argument

Sachant que le module vaut 1 et que Z est un imaginaire pur appartenant au cercle de centre O(0 , 0) et de rayon 1 privé du point (1 , 0), alors sont angle associé = /2