Salut Lyonnais, pour montrer que était linéaire a mon avis ta pas diu avoir beaucoup de difficultés...tu preds P et Q ds R3[X],a,b dans R et phi(aP+bQ)(X)=(aP+bQ)(X+2)=aP(X+2)+bQ(X+2)=a(phi(P(X))+b(phi(Q)(X)) voila lol, et comme on est dans un espace de dimension finie (R3[X]),phi étant linéaire, elle est donc continue(c'est une propriété)...la norme subordonné?? cette notion m'est inconnu dsl.

Euh merci robby3 ^^

Mais pour la linéarité et la continuité c'était bon ^^

Mon problème se situe au niveau du calcul de la norme subordonnée ! Désolé si je me suis mal exprimé ...

et tu utilises la définition de et de la norme.

j'ai oublié:

c'est donc ça la "norme subordonnée"?? Eh Bah j'aurais appris comment ça s'appelle lol...

Salut,

lyonnais pour la continuité tu as fait comment?

j'espere comme moi!!! lool,une application linéaire dans un espace dimension finie est continue...(et ceci quel que soit la norme utilisée).C'est un théorème qui peut etre assez utile

Oui je sais bien mais c'etait justement pour ca que je demandais parce qu'en dimension infinie pour montrer que c'est continue on majore la norme subordonnée donc c'etait pour savoir s'il avait deja une estimation de la norme

Salut Cauchy

T'as bossé tes arpèges de Do majeur et Sol 7ème?

Salut jeanseb,

non je me suis joue une sonate de beethoven et une petite nocturne de chopin tout à l'heure

Sympa

Re-bonjour à tous et merci pour vos réponse

>> Cauchy

Pour répondre à ta question, j'ai fait pareil que Robby3

>> jeanseb

C'est ce que j'ai posé, mais j'ai vraiment du mal avec cette notion, peux-tu me donner un début de réponse s'il te plait ?

Merci

Bonjour à tous

Romain> je crois avoir trouvé une piste par contre j'ai une bonne et une mauvaise nouvelle.
La mauvaise nouvelle, c'est que la méthode que j'ai en tête risque d'être un peu calculatoire mais je n'ai pas trop vu les détails.
La bonne nouvelle, c'est que ça utilise en partie un truc que tu as l'air de bien aimer (est-ce que l'expression "suite logique" t'évoques quelque chose ? :D)

Kaiser
P.S : je donnerai un peu plus de détails tout à l'heure si j'ai le temps.

Salut Kaiser

Je suis intrigué par la solution que tu as trouvée !!

Si jamais tu vois que ça marche, je veux bien le détails si tu as le temps ... merci en tout cas !

A tout à l'heure

À tout à l'heure !
_{Je vais creuser un peu tout ça !}

Kaiser

C'est bon, je crois que ça marche, et finalement, il n'y pas de gros calculs.
Je t'en dirais un peu plus tout à l'heure.
Je reviens dans une petite demi-heure.

Kaiser

Bonjour à tous.
Voilà une solution qui marche. On prend les polynômes de Lagrange L₀, L₁, L₂ et L₃ de degré 3 qui vérifient L_i(j)=0 si ij et L_i(i)=1. Je note M le plus grand des nombres ||(L_i)||.
C'est ici la partie calculatoire; j'ai trouvé M=27 pour i=2, mais sans aucune garantie.
Comme chaque L_i est de norme 1, ceci montre déjà que ||||M.

On sait que tout polynôme P de E s'écrit
P=P(0)L₀+P(1)L₁+P(2)L₂+P(3)L₃
d'où l'on voit facilement que ||(P)||M||P||
et finit de démontrer que ||||=M.

Surtout, vérifiez le calcul!

Salut Camélia

Dans ce cas, je ne détaillerais pas plus que ça car je trouve exactement la même chose que toi, donc y'a des chances que ce soit ça.

Kaiser

Merci à tous les deux !

Je comprends tout à fait le raisonnement, cependant je bloque sur une chose :

je n'arrive pas à trouver ce 27 ...

S'il vous reste un peu de temps, sinon j'ai très bien compris la méthode !

Merci encore

Déjà, que trouves-tu pour l'expression des polynômes de Lagrange, que tu aimes tant ?

Kaiser

Salut kaiser,

tu avais fait la meme methode ou autre chose?

Re

J'ai :

Salut Cauchy

Pour ma part, j'utilisais également les polynômes de Lagrange.
En fait, j'ai d'abord exprimer en fonction de P(0), P(1), P(2) et P(3) et ce pour ton polynôme de (contrairement aux apparences, les calculs sont moins lourds que ce qu'on pourrait penser) de manière à le majorer par M||P|| (bien sûr en majorant pas trop brutalement).
Je trouvais M=27 comme Camélia.
Ensuite, je remarque qu'il y a égalité avec , d'où le résultat.

Kaiser

Kaiser >>

Avec ta méthode, tu considère au départ :

P = ax^3 + bx^2 + cx + d

Tu ne par pas avec les polynômes de Lagrange si ?

Kaiser j'etais parti comme ca en essayant d'exprimer |P(0)|+|P(1)| en fonction de  |P(4)|+|P(5)|  mais j'avais rien trouve de concluant.

Enfin c'etait clairement pas la bonne methode

Tu sais quoi, si j'étais parti comme ça, alors d'une part, je n'aurais toujours pas fini mes calculs et d'autre part, je ne les aurait même pas car je hais le calcul bourrin.
En fait, je me sers de théorèmes d'algèbre linéaire.

Tout d'abord, pour i variant entre 0 et 3, je pose la forme linéaire définie sur par .
Ensuite, je dis que 4 formes linéaires forment une famille libre (démonstration laissée au lecteur ).
Ainsi, comme est de dimension 4, alors son dual est également de dimension 4 et donc est une base de ce dual.
Ainsi, toute forme linéaire sur se décompose de manière unique sur cette base.
Ainsi, il existe des réels a, b, c et d tels que pour tout polynôme P de ,

Les constantes a, b ,c et d se calculent en utilisant l'égalité précédente avec P qui l'un des
Même chose pour la forme linéaire qui à P associe P(5).

Ensuite, je majore en utilisant l'ingalité triangulaire.

Kaiser

moi aussi j'étais parti comme ça ... mais je ne vois pas comment l'on peut arriver à exprimer P(4) et P(5) en fonction de P(0) , P(1) , P(2) , P(3) ...

Ok super comme technique !!

J'essai tout de suite !

Merci beaucoup

Ok je vois on retombe sur ces fameux polynomes de Lagrange à un moment ou un autre

Kaiser >>

Je manque de temps pour continuer cet exo ...

Si tu les as calculé, peux-tu me donner les valeurs de a, b, c et d que tu as trouvées pour P(4) et pour P(5)

Sinon, ne t'embêtes pas, je calculerai ça plus tard !

Merci en tout cas

Pour P(4) je trouve : -1,4,-6 et 4
Pour P(5) je trouve : -4, 15, -20 et 10

Kaiser

Ok merci beaucoup

Je prèfère ta méthode à celle de Camelia ( j'espère qu'elle ne m'en voudra pas ! )

Je la trouve plus jolie Je reprends tout ça ce soir

Bonne fin de journée et merci encore ! :D

Pour ma part, je t'en prie !

Moi je prefère la méthode de Camélia j'espère que tu me banniras pas du forum

Surtout restez ZEN! Toutes les méthodes se valent (à condition que ça soit juste!)

Encore une question, j'ai repris tout les calculs et tout

Je trouve bien les mêmes valeurs que toi Kaiser.

J'arrive donc à ||phi(P)|| <= 27.||P||

Et pour P = L₂ Ok j'ai égalité !

Mais une question me trotte dans la tête :

Comment as-tu "remarqué" que P = L₂ donnait l'égalité ?

Une méthode particulière ?

Merci

Camélia, ton chanteur préféré, est-ce que c'est Adamo?

Romain>

Tous calculs faits, je trouve que :



A ce niveau, j'utilise l'inégalité triangulaire et je trouve :



Par la théorie, on sait que le sup est nécessairement atteint, car on est en dimension finie donc on cherche un P tel que les inégalités précédentes soient en fait des égalités.
C'est le cas si P(0)=P(1)=P(3)=0 (on refuse P(2)=0 car c'est de lui que vient le 27.
De là, le polynôme convient très bien.

Kaiser

Ok merci beaucoup !!!

Bonne soirée

PS : super explication ...

Mais je t'en prie !
Bonne soirée à toi aussi !

Oui, c'est un super topic.

Je n'ai pas tout suivi de près, mais je vais regarder les subtilités à tête reposée. Ca utilise plein de notions, notamment le dual dont je  n'ai jamais vraiment bien compris à quoi il servait en pratique. Pour cet exercice, on le voit très clairement.

Merci et bravo à tous.

Salut à tous:
D'abord nous sommes d'accord: la base duale de celle utilisée par kaiser est exactement celle formée par les polynômes de Lagrange donc nous parlons des mêmes choses.

>> pour jeanseb: Je n'ai rien contre Adamo, mais je n'irais pas jusqu'à dire que c'est mon chanteur préféré. Mais pourquoi? y-a-t-il une astuce qui m'a échappé? Si ça t'intéresse, ce serait plutôt du genre Placido Domingo!

> Camélia:

- Pour les goûts, je suis comme toi (tendance Dieter Fischer-Diskau)

- Pour ma question, c'est un vil jeu de mots (Adamo-Camélia), rien de plus...