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Exercice similitude 2

Posté par
pfff
30-05-20 à 11:39

Bonjour, je veux un peu d'aide pour ce problème. Merci

ÉNONCÉ

Le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct (O ; \vec{u} ; \vec{v}).
On note A le point d'affixe 2 et S la transformation du plan d'écriture complexe :
                                  
                                             z' = \dfrac{3+i\sqrt{3}}{4}z + \dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}

1.Déterminer l'image de A par S .
Je trouve S(A) = A

2. Déterminer l'antécédent P de O
Je trouve z_p = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}i

3. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
Je trouve f est une similitude de centre A de rapport \dfrac{\sqrt{3}}{2} et d'angle \frac{\pi }{6}

4. Soit M un point du plan distinct de A et M' l'image de M par S.

a. Démontrer que le triangle AMM' est rectangle en M' (C'est la qui me tracasse un peu )

Voici comment j'ai démontré :

On a S(P) = O et S(M) = M'

*Démontrons que le triangle APO est rectangle en O

\dfrac{z_p - z_o}{z_A - z_o} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}i (\in iR^*) alors APO est rectangle en O

S(P) = O et APO est rectangle en O, on en déduit donc que S(M) = M' le triangle AMM' est rectangle en M'

b)Soit E le point d'affixe 4+2i et E' l'image de E par S.
En utilisant la question précédente, donne une construction géométrique de E'

J'ai dit :
S(E) = E' , d'après la question 4-a) on en déduit que AEE' est un triangle rectangle en E' donc E' appartient au cercle de diamètre [AE]

Merci de m'aider

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice similitude 2 30-05-20 à 11:48

Bonjour

1-2-3 : oui

4 : non ! on ne te demande pas de traiter un cas particulier, mais le cas général ...

si tu veux procéder avec l'argument d'un quotient  c'est arg\left(\dfrac{z_M-z_{M'}}{z_A-z_{M'}}\right) qu'il faut analyser

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice similitude 2 30-05-20 à 11:58

sinon, de façon géométrique tu as :

AM' = \dfrac{\sqrt{3}}{2} AM

et

\widehat{MAM'}=\dfrac{\pi}{6}

Al-Kashi te permet de calculer MM' en fonction de AM

et Pythagore fera les reste ...

Posté par
pfff
re : Exercice similitude 2 30-05-20 à 12:13

Ok d'accord merci.

Et le dernier c'est bon ?

Posté par
malou Webmaster
re : Exercice similitude 2 30-05-20 à 13:44

Bonjour à vous deux
en l'absence de matheuxmatou à qui je repasse la main dès qu'il peut ou veut...
petit dépannage
4) non...je connais beaucoup de points moi, sur un cercle !
donc tu dois donner la construction complète pour E', et là ce n'est que le début
j'espère que tu fais ta figure en allant...ça permet de vérifier qu'on a rien oublié de dire

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice similitude 2 30-05-20 à 18:14

(merci à malou d'avoir pris le relai )

et comme elle dit, c'est un bon début, mais insuffisant pour positionner de façon unique le point image

Posté par
pfff
re : Exercice similitude 2 31-05-20 à 18:15

Bonsoir s'il vous plait revenons un peu au niveau de cette question :

Citation :
a. Démontrer que le triangle AMM' est rectangle en M'


J'ai essayé de trouver le réel imaginaire mais j'y arrive pas.


Citation :
b)Soit E le point d'affixe 4+2i et E' l'image de E par S.
En utilisant la question précédente, donne une construction géométrique de E'



J'avais déja dit que :
S(E) = E' , d'après la question 4-a) on en déduit que AEE' est un triangle rectangle en E' donc E' appartient au cercle de diamètre [AE]

et on a :   S est une similitude de centre A  et d'angle  \frac{\pi }{6}
  donc Mes (\widehat{\vec{AE};\vec{AE'}}) = \frac{\pi }{6}


Ce qui nous permettra donc de placer de façon unique le point E'

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice similitude 2 31-05-20 à 18:18

oui pour la b

Posté par
pfff
re : Exercice similitude 2 31-05-20 à 18:23

Ouf je pensais que vous alliez me demander pourquoi je n'ai pas inséré aussi le rapport de la similitude

Mais sinon aidez moi pour la question précédent celle la. Merci

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice similitude 2 31-05-20 à 18:26

le rapport de similitude sert dans le fait que le triangle est rectangle... donc est implicitement présent.

Pour la "a" je t'ai déjà donné 2 pistes

Posté par
pfff
re : Exercice similitude 2 31-05-20 à 18:39

J'ai préféré utilisé la première méthode  mais j'y arrive pas puisque pour la 2e j'ai essayé mais ...

On a : M'M² =MA² + M'A² - 2AM.AM'.Cos(\widehat{\vec{AM};\vec{AM'}})

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice similitude 2 31-05-20 à 18:45

oui !

et

matheuxmatou @ 30-05-2020 à 11:58


AM' = \dfrac{\sqrt{3}}{2} AM

et

\widehat{MAM'}=\dfrac{\pi}{6}

Posté par
pfff
re : Exercice similitude 2 31-05-20 à 18:57

Ok alors , je continue

On a : M'M² = \frac{7}{4}MA² - 3AM + \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Mais en fait je ne sais pas trop en quoi caluler M'M² va nous permettre de prouver que le triangle AMM' est rectangle en M'

Posté par
pfff
re : Exercice similitude 2 01-06-20 à 10:34

Posté par
matheuxmatou
re : Exercice similitude 2 01-06-20 à 11:39

faudra revoir la notion de  produit !

quant  à l'utilité peut-être en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore

pfff @ 31-05-2020 à 18:57

Ok alors , je continue

On a : M'M² = \frac{7}{4}MA² - 3 AM² \dfrac{\sqrt{3}}{2}

Mais en fait je ne sais pas trop en quoi caluler M'M² va nous permettre de prouver que le triangle AMM' est rectangle en M'



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