salut

3a) utilise le binome de newton

Bonjour,

ta réponse à la question 1 n'est pas ce qui est demandé

on ne demande pas de paraphraser la formule qui sert à calculer S_n
mais de décrire la matrice S_n indépendamment des deux autres :
où y a-t-il des 1 et où y a-t-il des 0 dans cette matrice.

dans le même genre que ce que tu as écrit question 2c qui est parfaite même si toi tu as un sentiment "décevant" d'une telle réponse, c'est bien cela qui est attendu et pas des formules mathématiques qui "noient le poisson"

on peut certes dire "mathématiquement" question 2c
la matrice (que j'appelle U pour ne pas surcharger l'écriture) est composée des éléments U_ij avec
U_ij = 1 si i = j (sur la diagonale)
U_ij = 0 si i > j (au dessous)
et U_ij = -1 si i < j (au dessus)

mais est ce vraiment plus clair, sans les commentaires"textes" entre parenthèse, que la phrase décrivant où sont les 0, les 1 et les -1 ?
(sans même parler des risques d'erreur sur le sens des inégalités )

3a "toutes les puissances" ça veut dire
S₂², S₂³, S₂⁴ ... S₂^k
(donc finalement S₂^k quel que soit k)
c'est "vite vu"
de même pour S₃^k
puis "généraliser" à S_n^k
(plus compliqué, commencer par voir ce que ça donne avec S₄^k car S₂ et S₃ sont "trop simples")

Merci pour vos réponses.

Pour la question 1/ j'ai mis maintenant : La matrice S_n correspond à une matrice composée de 0 sur la diagonale et en dessous de la diagonale, et des 1 au dessus de la diagonale.

Oui je suis d'accord que pour la 2c/ la façon dont tu as écris est beaucoup plus compliqué ^^, mais que pourrais-je mettre pour "donner une justification sommaire de votre proposition" ?

Enfin je viens de calculer toutes les puissances de S₂, et j'ai conclus que S_n^k est une matrice remplie de 0.

Par la suite pour la matrice S₃, je remarque qu'au bout de la matrice S₃³ il y a que des 0 mais avant pour la matrice S₃², il y a un 1 en haut à droite.

Pour les puissances de S_n, j'ai constaté qu'au bout de la matrice S_nⁿ, il n'y a que des 0 mais avant il y'a le même problème que pour S₃².

J'ai essayé avec S₄ et par exemple pour S₄², j'obtiens

.

Pour la matrice S₄³, j'obtiens :



Et seulement à la matrice S₄⁴ donc ce que je disais avant càd la matrice S_nⁿ, j'ai une matrice composée de 0 :


En tout cas merci pour votre aide ^^

tu pourrais justifier ça en écrivant explicitement le produit d'une ligne i par une colonne j
en montrant qu'il y a autant de 1*1 que de 1*(-1) et les autres termes nuls

* sauf si i = j

Je ne vois pas vraiment ce que tu veux dire par là. Je résous un système pour trouver l'inverse la matrice.

Et pour la 3/1 alors, que dois-je mettre ? :/ et la b/1 ? Le binome de newton ? si oui comment ?
Merci encore mathafou

non, on fait ça en sens inverse, on évite de calculer la matrice inverse.
on conjecture que la matrice inverse est celle que tu dis (U)
et ensuite il suffit de vérifier cette conjecture en prouvant que T*U = I
en effectuant le produit comme j'ai dit

la 3a c'est ce que tu as fait
on peut poursuivre le raisonnement avec



et chercher à dégager une règle pour les puissances S_n^k avec k < n
tout au moins justifier que à chaque puissance successive on ajoute une diagonale de 0 supplémentaire vers le haut
(les valeurs des chiffres non nuls, on s'en fiche un peu au pire)

la 3b1/ Démontrer, par récurrence
le binôme de Newton ne sert donc à rien pour faire ça par récurrence (il servirait à le faire directement sans récurrence en une ligne)

tu vérifies l'initialisation (que le coefficient de a⁰b est bien 1 dans (a+b)¹)
Hypothèse de récurrence (a+b)ⁿ = aⁿ + a^n-1b + ...
calculer le coefficient de aⁿb dans le produit explicite (a+b)ⁿ(a+b) pour prouver l'hérédité (que (a+b)ⁿ⁺¹ = aⁿ⁺¹ + aⁿb + ...)

J'ai compris pour la 3/a :  en fait la règle qu'on peut tirer est que pour la matrice S_n^k, en dessous de la diagonale il y a que des 0 pour n'importe quel k, puis il y a k diagonales de 0 au dessus de la diagonale principale (en la comptant).
Par exemple pour la matrice S₈⁵, il y aura 5 diagonales de 0 en comptant la diagonale principale.
Est-ce juste ?

Cependant, encore désolé ^^ :/; mais pour ce que tu me dis : en effectuant le produit de T*U = I, je présente ça comment ? car je ne sais pas l'ordre de la matrice ..  

et pour la 3b/1
j'ai écris ça, pouvez-vous me dire si c'est correct ?

Je pose P : coefficient du terme a^n-1b dans le développement de (a+b)ⁿ égal à n.

Initialisation :
(a+b)² = a² + 2ab + b²
On a bien le coefficient de a^2-1b qui est égal à 2.
Donc P est vraie au rang 2.

Hérédité :
Soit n un entier naturel , n2
Je suppose P vraie au rang n
Je veux montrer que P est vraie au rang n+1

(a+b)ⁿ⁺¹ = (a+b)ⁿ(a+b) = (aⁿ + a^n-1b + ...) (a+b)  = aⁿ⁺¹ + aⁿb + ...

donc P est vrai au rang P+1.

P est vraie au rang 2 et est héréditaire donc P est vraie pour tout n.

Je commence à 2 car d'après l'énoncé on nous dit que dans tout le problème n est supérieur ou égal à 2.

"car je ne sais pas l'ordre de la matrice .. "
on met des points de suspension.
en tout cas je m'étais un peu trompé pour la traduction de la description en formule et donc sur les propriétés du produit d'une ligne i par une colonne j

ligne i de la matrice T :  0,0,.. 0,1,1,1,1...,1
                                    |
                                    élément i de cette ligne

colonne j de la T-1 :      0,0,...-1,1,0,0...0
                                    |
                                    élément j de cette colonne

Je pose P : (a+b)ⁿ = aⁿ + na^n-1b + ...

Initialisation :
(a+b)2 = a² + 2ab + b²
On a bien le coefficient de a2-1b qui est égal à 2.
Donc P est vraie au rang 2.

Hérédité :
Soit n un entier naturel , n2
Je suppose P vraie au rang n
Je veux montrer que P est vraie au rang n+1

(a+b)ⁿ⁺¹ = (a+b)ⁿ(a+b) = (aⁿ + na^n-1b + ...)(a+b) = aⁿ⁺¹ + aⁿb + naⁿb + na^n-1b² .... = aⁿ⁺¹ + (n+1) (aⁿb) ...

donc P est vrai au rang P+1.

P est vraie au rang 2 et est héréditaire donc P est vraie pour tout n.

Est-ce que comme ça c'est juste ?

Par contre, désolé mais pour ta réponse :


ligne i de la matrice T :  0,0,.. 0,1,1,1,1...,1
                                    |
                                    élément i de cette ligne

colonne j de la T-1 :      0,0,...-1,1,0,0...0
                                    |
                                    élément j de cette colonne


et étudier ce produit qui donne l'élément Pij de la matrice produit dans chacun des cas  i= j, i < j et i > j  

Je ne comprends pas ... comment ça pour les 3 cas ? et surtout je ne vois pas du tout comment le rédiger. Peut-être je suis un peu bête ^^ désolé :/

j'avais mis mon texte dans des balises [code][/code] pour garantir une police à chasse fixe et pas une police proportionnelle pour laquelle il est impossible de garantir l'alignement entre les lignes successives (mes repères)

le copier coller direct de texte supprime tout formatage :
les indices et exposants, les symboles spéciaux, les mises en gras, etc sont copiés en tant que texte ordinaire, dan sle meilleur des cas
si on copie colle a² par exemple il colle a2 etc
si on copie colle on ne copie rien etc

il faut copier ce genre de truc "à partir du source du message"
( bouton du bandeau du message, à droite du"posté par", pas dans le bandeau des outils)
bouton qu'il faut autoriser dans son profil.

bon après ce HS sur le fonctionnement du forum, passons
(vu qu'on peut lire l'original du message cité juste au dessus, la citation ne sert pas à grand chose)

prends un exemple avec n = 4 par exemple

comment calcules tu individuellement chacun des termes de la matrice produit P = T*T^-1 ?



pour calculer l'élément P_2,3 par exemple tu prends bien la ligne 2 de T
0,1,1,1
le deuxième élément de cette ligne 2 est 1 et les suivants aussi
et la colonne 3 de T^-1
0,-1,1,0
le 3ème élément de cette colonne 3 étant 1
ce qui donne P_2,3 =0*0 + 1*(-1) + 1*1+0*0 = 0

etc non ?

de façon générale la ligne i de T et la colonne j de T^-1 pour calculer P_ij
qui est exactement ce que j'ai écrit
mais avec des "points de suspension" puisqu'on ne connait pas n
ni i ni j d'ailleurs dans mes écritures, c'est ensuite qu'il faut les mettre "en face" ou "décalées" selon les cas cités
selon les cas (selon les valeurs relatives de i et de j) on aura des produits tous nuls et donc la somme nulle
ou bien tous nuls sauf un qui vaut 1*1
ou bien tous nuls sauf deux qui valent 1*(-1) et 1*1 et dont la somme est nulle
c'est bien ces trois cas là qu'il faut examiner

edit * (T_2,4 = 1, pas 0)

ce qui donne P_2,3 =0*0 + 1*(-1) + 1*1+1*0 = 0

(on a beau relire 25 fois il reste souvent des coquilles bien cachées)

D'accord je comprends mieux donc en gros sur ma copie, je dois :

faire 3 matrices avec des petits points puis sur le côté écrire :
3 possibilités :
soit que des 0 sauf un qui vaut 1*1 donc 1
soit que des 0 sauf 2 qui valent 1*(-1) et 1*1 dont la somme égal 0
mais c'est quoi le 3ème cas stp ?

Et pour ma récurrence, c'est bon ?
merc iencore

faire 3 matrices avec des petits points

si tu veux
mais le principal n'est pas tellement les matrices mais les différents choix possibles de combinaison d'une ligne de l'une avec une colonne de l'autre pour obtenir un élément de la matrice produit.
le 3ème cas est celui où il n'y a que des 0 fois quelque chose

mais si tu ne comprends pas quel cas correspond à quel résultat tes explications sont du pipeau pour faire illusion...
(faire croire que tu sais ce que tu dis alors que non)

les cas ne sont pas "soit que des 0 sauf un qui vaut 1*1 donc 1" etc
mais
soit i = j et alors par conséquent dans le calcul de P_ij il n'y a que des 0
(des 0*0, ou des 0*(-1) ou des 1*0) sauf un qui vaut 1*1 donc P_ii = 1
etc
rédiger sans faire le lien enter les "résultats" et les positions (i et j) de l'élément calculé de la matrice produit ne sert à rien du tout.

oui pour la récurrence cette fois.
ou presque

vu que l'énoncé parle explicitement de commutativité, cela doit figurer explicitement dans la démonstration

que na^n-1b multiplié par a soit égal à naⁿb n'est vrai que parce que la multiplication est commutative.
cela doit être dit explicitement dans la démonstration donc.

c'est à dire une étape intermédiaire explicite dans le calcul :

(aⁿ + na^n-1b + ...)(a+b) = aⁿ⁺¹ + aⁿb + na^n-1ba + na^n-1b² ....
et dire explicitement que à cause de la commutativité na^n-1ba = naⁿb


si la multiplication n'était pas commutative
na^n-1b multiplé par a donnerait na^n-1ba et ça ne se simplifierait pas, ça resterait comme ça sans espoir de pouvoir le regrouper avec aⁿ fois b

a et b ne sont pas des nombres mais des éléments d'un ensemble quelconque dans lequel on a défini des opérations "appelés additions " et "appelée multiplication" qui suivent certaines règles qui ne sont pas forcément toutes les mêmes que pour des nombres.
il faut même supposer pour que la question ait un sens certaines propriétés implicitement !! (non dites dans l'énoncé)
pour pouvoir simplement parler de puissance et de multiplication par un coefficient entier, implique certaines propriétés de l'ensemble contenant ces éléments "a" et "b".
sans aller jusque là parler explicitement de la commutativité est certainement exigé, vu la rédaction de la question.

Parfait pour la récurrence,
et je comprends un peu mieux pour l'histoire de i et j ^^
Cependant, à aucun moment i < j

Dans ce cas là par exemple que tu m'as écrit auparavant :

Il n'y a pas de ligne i dont la somme des termes est inférieur à une colonne j non ?
le plus grand j vaut 1 et le minimum dans i est 1.



Est-ce que je fais une erreur dans mon raisonnement ?

j'ai choisi comme exemple i = 2 et j = 3
ni i ni j ne sont des sommes de quoi que ce soit
ce sont les rangs de la ligne choisie et de la colonne choisie
et donc les rangs i et j de l'élément P_ij
en bleu dans cet exemple , P_2,3 qui vaut ici dans cet exemple le nombre 0 en bleu de la matrice produit.


il faut étudier tous les cas de tous les choix possibles de valeurs indépendantes de i et de j pour avoir tous les éléments de la matrice produit
donc pour i de 1 à n et indépendamment pour j de 1 à n (soit n² valeurs à calculer, les n² éléments de la matrice produit)
et tous ces choix possibles se classent en trois catégories seulement :

* ceux pour lesquels i < j (calcul des éléments de la matrice produit qui sont au dessus de la diagonale)

* ceux pour lesquels i =j (les éléments de la diagonale de la matrice produit)

* et ceux pour lesquels i > j (les éléments au dessous de la diagonale de la matrice produit)

et encore heureux car ça permet de ne faire que trois raisonnements seulement au lieu des n² nécessaires au calcul explicite de chacun des n² éléments de cette matrice produit !!
chacun de ces trois cas concerne la somme de systématiquement n produits de deux nombres, un de la ligne i et un de la colonne j choisies
c'est ces produits là qui sont des 0*0 ou des 0*1 ou des 1*0 ou des 1*(-1) etc selon les différents cas
et on en cherche la somme de ces n produits là
ce qui est ici facile car ils sont tous nuls sauf "quelques uns" (ces produits) et donc les sommes (c'est à dire les éléments ainsi calculés de la matrice produit) sont au final soit des 0 soit des 1
l'étude explicite des trois cas finit par trouver que les éléments P_ij sont tous nuls sauf si i = j, c'est à dire sauf sur la diagonale de P
par conséquent on a prouvé que P est une matrice unité et donc que les deux matrices que l'on a ainsi multipliées entre elles son t bien inverses, ce qui achève la démonstration de la conjecture (que l'inverse de T est décrite comme tu as dit)

Okayyyyyy , je comprends beaucoup mieux .. Ce que je ne comprenais pas très bien c'était les i et j mais là ça va. Merci beaucoup pour ta patience :/
Donc juste pour conclure on va dire : en gros il y a 3 possibilités, soit
i < j, soit i > j, soit i = j

Lorsque i = j les produits ne sont pas nuls et cela correspond à la diagonale. Lorsque i < j et i > j, tous les produits sont nuls car on a comme produit : (0*1, ou 0*(-1) ou 0*0 ou 1*(-1) ou 1*1 et la somme de ces termes donnent 0.

Est-ce "enfin" juste ?

Je vais essayer de continuer la suite et je te tiens au courant  

non

d'abord "les produits pas nul" n'est pas pareil que un seul produit est exactement 1*1 = 1 (et les autres nuls)

et lorsque i j ce n'est pas pareil !
dans un cas les produits sont effectivement tous nuls (0*1 ou 0*(-1) ou 1*0)
dans l'autre deux produits exactement ne sont pas nuls :
l'un vaut 1*(-1) et l'autre 1*1 et les autres nuls de sorte que la somme est 1 - 1 = 0
(déja dit)

b2/    (I₂ + S₂)³ = I₂³ +3 I₂² S₂ + 3 I₂S₂² + S₂³

Et pour déduir une formule pour  (I₂ + S₂)ⁿ :

(I₂ + S₂)ⁿ =


Est-ce juste pour la b2/ ?

il me semble qu'on a certaines propriétés de S₂^k depuis la question 3a,
et pour le développement de certains termes de (a+b)ⁿ depuis la question 3b1 (justifier que le produit d'une matrice A par une matrice I est commutatif pour utiliser ça)

ce qui permet de simplifier grandement cette formule, plutôt que de rester dans des "généralités" de formule du binôme !
ces questions précédentes ayant pour but de ne pas avoir besoin de cette formule du binôme
(et qu'une réponse aussi générale que juste appliquer cette formule du binôme n'est donc pas ce qui est attendu)

le même procédé sera d'ailleurs utilisé via les questions 3c1 et 3c2 pour obtenir une formule simple et explicite (sans signe somme) de (I₃+S₃)ⁿ

Je suis tout à fait d'accord mais nous avons que certains termes du développement de (a+b)ⁿ et non tous, donc sans le signe de somme comment est-ce possible ?

il suffit de modifier la borne supérieure de k (au dessus du signe somme)
ou bien mieux de ne pas écrire de signe somme du tout vu que le nombre de termes est très faible et constant !!
et que encore une fois la formule du binôme ne sert à rien dans cet exo puisqu'on en redémontre explicitement les seuls termes qui sont utiles, les questions sont très loin d'être indépendantes
d'ailleurs la formule du binome avec des sommes de matrices n'est pas valable

de façon générale si A et B sont deux matrices (A+B)² n'est pas égal à A² + 2AB + B²
il faut donc justifier que ça l'est "exceptionnellement" (c'est pour ça qu'on parle de commutativité dans la question 3b1)

Donc j'ai de le droit d'écrire (I₂ + S₂)³ ça car on sait qu'il y a commutativité. Exact ?

De plus, pour  (I₂ + S₂)ⁿ = I₂² + nI_2^n-1S₂ + .... + S₂ⁿ.

Or on a dit que S₂ⁿ était une matrice remplie de 0 d'après la question 3/a. Donc une matrice constante. Ce qui nous intéresse ici c'est seulement les terme I_2ⁿ et ce qui suit, jusqu'à ce que il y ait un exposant sur S₂.

C'est ça ?

oui.
non seulement constante mais nulle
et comme Iⁿ = I quel que soit n et que multiplier I et une matrice A quelle qu'elle soit donne A (IA = A quel que soit A)
et donc la somme s'écrit tout simplement

(I₂ + S₂)ⁿ = I₂ + nS₂
point barre.

D'accord merci beaucoup !! ^^

Je viens d'écrire la récurrence, est-ce juste ?

Je pose P : (a+b)ⁿ = aⁿ + na^n-1b + a^n-2b²

Initialisation :
(a+b)² = a² + 2ab + 1b² + ....
On a bien le coefficient de a^2-1b² qui est égal à soit = 1

Donc P est vraie au rang 2.

Hérédité :
Soit n un entier fixé , n2
Je suppose P vraie au rang n
Je veux montrer que P est vraie au rang n+1

(a+b)ⁿ⁺¹ = (a+b)ⁿ(a+b) = (aⁿ + na^n-1b + a^n-2b² + ...)(a+b) = (aⁿ⁺¹ + aⁿb + naⁿb + na^n-1b² + a^n-1b² + ...  (grâce à la commutativité ab=ba).  
= (aⁿ⁺¹ + aⁿb + naⁿb + a^n-1b² (n+) + ...)
= (aⁿ⁺¹ + aⁿb + naⁿb + a^n-1b² () + ...)
= (aⁿ⁺¹ + aⁿb + naⁿb + a^n-1b² () + ...)


donc P est vrai au rang P+1.

P est vraie au rang 2 et est héréditaire donc P est vraie pour tout n.


Et donc pour la 3c/2 je trouve :
T₃ = S₃ + I₃
T₃ⁿ = (S₃ + I₃)ⁿ  = I₃ + nS₃ +   S₃²

(S₃² n'est pas nul)

Est-ce bon ?
Merci encore mathafou, pour le temps que tu as pris et le reste ..

parfait.
pour pinailler , manque juste des "..." sur la définition de P
dans l'initialisation les "..." sont en fait vides et c'est le coefficient de a^2-2b² dont on parle
"donc P est vrai au rang n+1". (le rang P+1 ne veut rien dire P est une propriété pas un rang)

(a+b)n+1 = (a+b)n(a+b) = (an + nan-1b + \frac{n(n-1)}{2}an-2b² + ...)(a+b) = (an+1 + anb + nanb + nan-1b² + \frac{n(n-1)}{2}an-1b² + ...  (grâce à la commutativité ab=ba).  
= (an+1 + anb + nanb + an-1b² (n+\frac{n(n-1)}{2}) + ...)
= (an+1 + anb + nanb + an-1b² (\frac{(n²+n}{2}) + ...)
= (an+1 + anb + nanb + an-1b² (\frac{(n+-14)n}{2}) + ...)
T3 = S3 + I3
T35n = (S3 +4 I3)n  = I3 + nS3 +  \frac{n(n-1)}{2} S32
ups
_________________________________________________________________________________________________

D'accord merci beaucoup, et juste il ya une dernière question bonus que j'aimerai faire :

On me demande une formule pour T_n^k.

Ca revient à : T_n^k =(S_n+I_n)^k non ?

Mais là on doit mettre des bornes non, je m'explique si k= 2, ça ne sera pas la meme chose, et est-ce que k peut valoir 1 ? car dans l'énoncé c'est n > 2 et pas k. Pourrai-tu me donner des pistes stp ? Merci encore ^^

Et oui je mettais tromper avec le P+1 c'est bien n+1, toutes ces parenthèses et slashs ^^

Pour généraliser il ne faut pas se mélanger les pinceaux dans les noms des variables
on en a ici 3 et non plus deux
et elles changent de nom par rapport au cas T₂ et T₃ !!

on pourra donc prendre n comme rang de la matrice au lieu de l'exposant
k comme exposant au lieu de la variable muette de la somme
et i comme variable muette de la somme

on remplace ainsi

(la somme de 3 termes s'écrit comme ça avec un Σ !)
par


avec utilisation des coefficients binomiaux vu que tout est variable là dedans ...

C'est un peu confus mais je vais regarder. Juste pour :

T₃ = S₃ + I₃
T₃ⁿ = (S₃ + I₃)ⁿ  = I₃ + nS₃ +   S₃²

(S₃² n'est pas nul). Ca c'est juste non ?


I_n^k-i S_nⁱ

Oui,

mais dans la formule générale tu peux remplacer les I_n^k-i par .. rien
vu que c'est l'élément neutre dans la multiplication des matrices.


en ajoutant au besoin que par convention S_n⁰ = I_n

dans l'ensemble des réels on a a⁰ = 1 quel que soit le réel a non nul
"par convention" (convention bien pratique et cohérente avec des calculs sur les exposants)

ici on étend cette propriété aux matrices pour lesquelles par convention quelle que soit la matrice A (carrée) non nulle on pose A⁰ = I, la matrice unité de même rang

ceci permet d'écrire la somme ci dessus simplement
sinon pour simplifier les I^k-i on serait amené à extraire à part le premier terme de la somme :

Okayyy je comprends merci beaucoup en tout cas Mathafou. Je te souhaite une bonne continuation.
Thomas