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Exercice suite et matrice
Bonjour à tous, je vais vous envoyer un devoir de maison. Est-ce que vous pouvez m'aider à le faire s'il vous plaît ? Parce que je l'ai pas du tout compris .
PARTIE À
Soit (Un) une suite définie par la relation de recurence : pour tout n appartient à N , Un+1=aUn+b avec a différent de 1 et b différent de 0 .
1) - résoudre dans R l'equation (point fixe) x=aux+b. On note q la solution
2) -on pose Vn=Un-q . Montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison a
3) -en déduire l'expression (Un) en fonction de Uo , a et b
4) - discuter en fonction de a, la limite de la suite (Un)
PARTIE B
Soit A une matrice carre d'ordre 2 et V un vecteur colonne de taille 2
1) - Donner un cas particulier d'un Matrice A t'elle qu'il n'existe pas de vecteur W telle que W=AW+V(*)
2) - on suppose que la matrice I-A est inversible, résoudre en exprimant (*) W en fonction de V et I-A
3) - on pose Yn=Xn-W verifier que Yn+1=AYn
4) - a) montrer que pour tout n appartient à N , Yn=A^n et W
b) en déduire pour tout n£N l'expression de Xn en fonction de Xo,A^n et W
5) - on suppose que A est diagonalisable c'est à dire qu'il une matrice S inversible telle que S^-1 AS=D est une matrice diagonale. En déduire pour tout n£N,l'expression de Xn en fonction de Xo,D^n,S et W. »
salut
la partie A est un classique en terminale et très simple à résoudre ...
il faut donc s'y mettre !!!
on verra ensuite pour la partie B ...
Du coup dans la partie a
X=ax+b
x-ax=b
x(1-a)=b
x=b/1-a
q=b/1-a
Est-ce que c'est comme ça je peux répondre à la première question ?? S'il vous plaît
Pour la deuxième de la partie a
J'ai pose
Vn=Un -q
Vn+1=Un+1 -q or Un+1=aUn+b
donc,
Vn+1=aUn+b-q avec Un=Vn+q
Vn+1=aVn+aq+b-q avec q=b/(1-a)
Vn+1=aVn+ab/(1-a)+b/(1-a)-ab/(1-a)-b/(1-a)
Vn+1=aVn
Ainsi (Vn) est géométrique de raison a
J' Pas trop compris les autres je vais essayer
3) partie a
Vn=V0 . a^n avec Vn=Un+q
Un+q=V0.a^n avec V0=U0+q
Un+q=U0+q .a^n
Un=U0+q .a^n -q
Est-ce que je suis sur la bonne voie ?? Merci
les notations sont maladroites et peuvent te gêner ...
par contre il manque encore des parenthèses ...
Est-ce que c'est comme ça ?
Posons Vn=V0.a^n
Un+q=(U0+q ).a^n
Un=(U0+q).a^n -q
Avec q=b/(1-a)
Un=U0+b/(1-a) .a^n - b/(1-a)
Est-ce que c'est comme ça ?
Posons Vn=V0.a^n
Un+q=(U0+q ).a^n
Un=(U0+q).a^n -q bonne parenthèse
Avec q=b/(1-a)
Un=U0+b/(1-a) .a^n - b/(1-a) parenthèse manquante
il reste la question 4/ ... pour laquelle il ne faut pas développer ...
et il serait bien d'utiliser des espaces dans les expressions mathématiques pour les rendre plus lisibles !!!
Un = (U0 + q).a^n - q
Pour la 4) partie a
Limite a en +l'infini =0
Par produit limite (U0+q).a^n=0
Par sommes limite Un =-q
tu n'a pas discuter en fonction de a (voir limite d'une suite géométrique)
ensuite il ne faut pas développer (à cause d'une éventuelle FI)
et enfin il manque toujours des parenthèses à 14h51 ...
Du coup la troisième c'est
Un=U0.a^n+(b/(1-a) ).a^n-(b/(1-a) )
Est-ce que je peux laisser comme ça ou bien factoriser par b/(1-a) ??
Pour la limite
Si a >1 la suite est divergente car
Limite en +infini de Un est +infini
Si a =0 la suite est convergente
Car 1>a>-1 la limite Un en +infini =-q
Bonjour Est-ce que vous pouvez m'aider à faire la partie B de cet exercice s'il vous plaît ?
> PARTIE À
> Soit (Un) une suite définie par la relation de recurence : pour tout n appartient à N , Un+1=aUn+b avec a différent de 1 et b différent de 0 .
> 1) - résoudre dans R l'equation (point fixe) x=aux+b. On note q la solution
> 2) -on pose Vn=Un-q . Montrer que la suite (Vn) est géométrique de raison a
> 3) -en déduire l'expression (Un) en fonction de Uo , a et b
> 4) - discuter en fonction de a, la limite de la suite (Un)
> PARTIE B
> Soit A une matrice carre d'ordre 2 et V un vecteur colonne de taille 2
> 1) - Donner un cas particulier d'un Matrice A t'elle qu'il n'existe pas de vecteur W telle que W=AW+V(*)
> 2) - on suppose que la matrice I-A est inversible, résoudre en exprimant (*) W en fonction de V et I-A
> 3) - on pose Yn=Xn-W verifier que Yn+1=AYn
4) - a) montrer que pour tout n appartient à N , Yn=A^n et W
> b) en déduire pour tout n£N l'expression de Xn en fonction de Xo,A^n et W
> 5) - on suppose que A est diagonalisable c'est à dire qu'il une matrice S inversible telle que S^-1 AS=D est une matrice diagonale. En déduire pour tout n£N,l'expression de Xn en fonction de Xo,D^n,S et W.
*** message déplacé ***
17h36Je vous l?envoie en photo
** image supprimée ** 
* Modération > Seconde image exceptionnellement tolérée. *
a priori pas de photo d'énoncé... mais bon là ça permet de vérifier... un(e) modérateur(trice) supprimera l'image
donc l'énoncé est faux car si V est le vecteur nul, il y a toujours un vecteur W qui vérifie W=AW... (le vecteur nul)
donc modification d'énoncé de la partie B :
soit A ... et V un vecteur colonne de taille 2 non nul
donc pour B1 tu proposes quoi ?
W étant un vecteur colonne, W-1 n'a strictement aucun sens !
je pense que tu n'as pas compris la question.
V étant un vecteur colonne non nul
montrer qu'il existe une matrice A (simple 
) telle que l'équation d'inconnue W (vecteur colonne aussi !)
W=AW+V
n'a aucune solution
Bon, je vais seulement supprimer la 1ère image qui ne sert à rien.
C'est dommage de ne pas avoir posté dès le début "le but du DM".
Je confirme qu'il faut V non nul. Sinon 1) est faux.
Quelle que soit la matrice A, il existera toujours un vecteur W tel que W = AW + 0.
En effet : 0 = A
0 + 0.
petite analogie :
a est un réel
b est un réel non nul
ne vois-tu pas une valeur de a pour laquelle l'équation en x
x = a x + b
n'a pas de solution ?
bon allez, puisque tu ne proposes rien de concret, je te laisse réfléchir !
essaye déjà de comprendre la question.
bonne soirée
Quand tu cherches à résoudre x = 5x+3 , quelles sont les opérations utilisées ?
Quand ne peut-on pas les utiliser pour résoudre x = ax+b
?
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