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Exercice - Suites
Bonjour à tous, je viens vous voir pour quelques questions à propos d'un exercice sur les suites qui me pose quelques problèmes.
Soit un nombre réel. On considère la suite de terme général :
1. Démontrer que, quel que soit le réel , la suite de terme général
est bornée.
>> Je suis passé par la forme exponentielle pour transformer pour
. Et j'ai conclu en disant que c'était le rapport de deux suites bornées. Pour
on a
.
2. On suppose que la suite u tend vers une limite non nulle.
2. a. Démontrer qu'il existe un réel et un entier
tels que
>> Pour ca pas de soucis.
2. b. En déduire que :
>> A partir du rang tous les
sont du même signe d'après la question précédente. Donc on peut passer la valeur absolue à l'intérieur et du coup la relation est plutot évidente puisque la somme comprend
termes et qu'au rang
la suite a pour valeur
. De plus pour tous les rangs supérieur, on a
.
2. c. Que peut-on en conclure sur la limite éventuelle de la suite u ?
On a vu que est bornée, or en valeur absolue elle majore un terme qui tend vers l'infini avec n. Que peut-on conclure de plus ?
3. On suppose que la suite extraite de terme général
est convergente.
3. a. Quelle est la limite de v ?
>> Help !
3. b. Démontrer que pour tout
>> Pas de soucis.
3. c. Démontrer qu'il existe un entier naturel tel que
>> Help !
3. d. En déduire que .
>> Help !
4. Démontrer que la suite u est convergente si, et seulement si, elle est constante.
>> Help !
_____________________________________________
Voila pour cet exercice 
Merci par avance de votre aide.
@+
Bonjour disdrometre et merci de te pencher sur mon problème.
Je suppose que ta remarque concerne la limite de la suite v. Seulement quelle est la limite de u ?
le début du 2. précise que l'on admet que u a une limite ( sans donner sa valeur..)
je pense que le but de l'exercice d'admettre que u a une limite L, et de prouver par l'absurde que si on extrait
une sous-suite v de u on trouve une contradiction ( si L est non nul )
D.
Oui je pense de même, mais je ne vois pas comment déterminer la limite de la suite v pour autant ?
^o)
après une pause déjeuner, je me suis rendu compte que le 2 c) montre que
la limite de u si elle existe de elle doit être nulle.
que penses-tu de ma conclusion du 2c/
D.
Effectivement, dans un exercice de kholle j'avais eu cette démonstration à faire, que si u converge c'est forcément vers 0. Donc on peut aboutir à cette conclusion sur la 2.c.
Et donc du coup la limite de v est 0, car c'est une sous-suite extraite d'une suite qui converge vers 0.
Merci pour cette aide sur ces questions disdrometre
Je me penche maintenant sur la 3.c.
Si on admet la 3.c. il est plutot facile de conclure pour la 3.d.
Mais je ne vois pas trop où commencer pour démontrer la 3.c.
On sait que la suite u (mais aussi v) converge vers 0. Il est donc démontrable que la suite de terme général
converge vers 1.
Or est une suite sous suite extraite, donc elle converge aussi vers 1. En réutilisant la même méthode que lors de la question 2.a. et en réutilisant le résultat de la 3.b. Je peux donc dire qu'il existe
et un réel
tel que :
En prenant qui est inférieur à la limite de la suite donnée plus haut (de limite 1), on arrive bien à :
Est-ce que ce raisonnement est correct ?
Qu'en est-il pour la question 4 ?
Merci.
re,
OK pour la méthode, cos(nt) peut aussi tendre vers -1.
au niveau de la rédaction, je dirais que |cos(nt)| tend vers 1.
sinon pour le 4)
u converge si sa limite est 0 et mais la seule possibilité d'une telle suite est
un=0 pour tout n, ( je viens d'avoir cette idée, à toi de vérifier !!!)
D.
Je vais travailler là-dessus, je pense avoir matière à travailler suffisamment pour arriver à mes fins
Merci à toi disdrometre pour ton aide tout au long de cet exo
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