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Exercice sur l'existence d'une valeur propre commune
Bonjour,
J'ai résolu un exercice mais j'avais trouvé le corrigé bien compliqué ce qui m'a laissé des doutes sur ma solution.
L'énoncé est : Soient telles que :
et P non nulle. Et on veut montrer que A et B ont une valeur propre commune.
Ce que je pense : Si B est une matrice scalaire, alors et dans ce cas vu que P est non nulle, on prend un vecteur non nul qui n'appartient pas à
et on a
et
non nulle, donc
vecteur propre de
associé à la valeur propre
qui est aussi une valeur propre de
.
Si B n'est pas une matrice scalaire, vu que son polynôme caractéristique est scindé, alors elle possède au moins deux valeurs propres distinctes . Si
alors on prend
dans
et on a ;
avec
non nulle. Si
on prend
. Sinon
.
Et ainsi on a toujours une valeur propre commune non ?
Dans le corrigé que j'ai, ils sont parti sur le rang de P... Et je ne comprends pas du tout pourquoi.
J'espère que quelqu'un pourra me confirmer ( même si j'ai la certitude que ce que j'ai fais est correct mais la confirmation par des experts est toujours bien ) ma solution ou me corriger.
Merci d'avance,
salut
pourquoi aurait-on deux valeurs propres distinctes ?
si k est vecteur propre de B associé à la valeur propre k alors PB(u) = P(ku) = kP(u)
mais AP = PB donc A(P(u)) = AP(u) = PB(u) = kP(u)
donc P(u) est vecteur propre de A associé à la même valeur propre de k
Bonjour,
Merci pour votre réponse. C'était pour assurer que P(u) ne soit pas nulle comme ca on peut affirmer que c'est réellement un vecteur propre de A.
effectivement ... il faut donc ajouter un argument ...
mais cependant tu peux très bien ne pas avoir plus d'une valeur propre ...
Oui, c'est pour cela que j'ai traité les cas où B est une matrice scalaire ( donc n'a qu'une seule valeur propre ) et le cas où B n'est pas une matrice scalaire ( donc a au moins deux valeurs propres, car on travaille dans Mn(
) ) . Mais je pense que c'est la faute que j'ai commise, car une matrice nilpotent a 0 comme unique valeur propre et elle n'est pas une matrice scalaire.
Merci de m'avoir signaler que je pouvais ne pas avoir plus d'une valeur propre dans tous les cas.
effectivement une matrice nilpotente n'a qu'une seule valeur propre 0 et n'est pas scalaire ...
il faut donc distinguer le cas trivial de la valeur propre 0 des autres cas ... en usant du fait que P n'est pas nulle
Il n'y a pas que 0 qui pose problème ! La somme de et d'une nilpotente a une seule valeur propre sans être scalaire.
Il n'y a pas que 0 qui pose problème ! La somme de
mais on doit pouvoir s'en sortir avec ma démo
si k est vecteur propre de B associé à la valeur propre k alors PB(u) = P(ku) = kP(u) (*)
mais AP = PB donc A(P(u)) = AP(u) = PB(u) = kP(u)
donc P(u) est vecteur propre de A associé à la même valeur propre de k
C'est tout le problème !
Fais un essai avec ,
et
et tu verras que tous les vecteurs propres de sont dans le noyau de
mais qu'on a bien
valeur propre de
lorsque
Bonjour, une idée purement matricielle 
pour fixer les idées traitons d'abord le cas
où est un entier naturel compris entre
et
et
la matrice unité d'ordre
en écrivant où les matrices
et
sont carrées de taille
et
respectivement
et où les matrices
et
sont carrées de taille
et
respectivement,
un calcul matriciel (par blocs) donne :
ce qui donne et
le polynôme caractéristique de la matrice carrée (de taille
) est alors clairement un diviseur commun non constant à ceux de
et
.
si
est le rang de
, un résultat classique donne l'existence de deux matrices inversibles
et
telles que
sauf erreur bien entendu
Bonsoir,
Merci beaucoup pour votre réponse. Elle est claire et purement matricielle comme vous le précisez.
C'est un plaisir ZiYun
juste pour conclure :
en utilisant le cas , on conclut que les deux matrices
et
ont au moins une valeur propre commune
et comme les valeurs propres de (resp.
) sont exactement celles de
(resp. B) ...
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