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exercice sur la résoltuion d une équation par itérations

Posté par mimi66 (invité) 21-12-04 à 20:49

J'éprouve bcp de mal à faire cette exercice sur els fonctions.S i qqun pouvait me donner quelques tuyau me permettant d'avancer l'exercice, j'en serai très heureux car pr le moment, je ne suis parvenu à rien.


Soit I=[a,b] un intervalle de R avec a < b et k un réel tel que 0<k<1
Soit f une fonction définie sur I à valeurs dans R telle que I soit stable par f et que f soit k-contractante sur I, c'est-à-dire:
f(I) inclus dans I Et quels que soient (x,y) appartenant à I² valeur absolue de (f(x)-f(y)) < ou égal à k * valeur absolue de (x-y)
1.a)Montrer que si l'équation x=f(x) admet une racine dans I , cette racine est unique.
b) Montrer que f est continue sur I
c)Montrer que l'équation x=f(x) admet uen racine alpha dans I
2)Pour Xo fixé dans I, on considère la suite (Xn) n appartenant à N définie par Xoet Xn=f(X(n-1))
pour n > 0
Montrer que quel que soit n appartenant à N valeur absolue de (Xn-alpha)< ou égal à (k^n)* valeur absolue de (b-a). En déduire la limite de la suite (Xn).
3)Ecrire un algorithme qui permet de déterminer une valeur approchée de alpha à ypsilon près à l'aide de la suite (Xn)

Posté par
franzre : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 21-12-04 à 21:15

Sur quelles questions butes-tu ?

Posté par mimi66 (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 23-12-04 à 11:10

je ne suis parvenu qu'à faire la question 1)b).....

Posté par
franzre : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 24-12-04 à 02:24

1-a/

Prouvons que \alpha est unique.
Soit ( \alpha_1,\alpha_2 ) \in I^2 \rm{ tel que } \{ \array{\alpha_1 \neq \alpha_2 \vspace{5} \\ f(\alpha_1)=\alpha_1 \vspace{5} \\ f(\alpha_2)=\alpha_2 }

D'une part
|f(\alpha_1)- f(\alpha_2)|=|\alpha_1-\alpha_2|
D'autre part
|f(\alpha_1)- f(\alpha_2)| \; \le \; k\,|\alpha_1-\alpha_2| \; \lt \; |\alpha_1-\alpha_2|      (car k<1)
Contradiction.

1-b/

Soit x_0 \in I \rm{ et } \vareps >0
\forall y \in ] x_0-\frac \vareps k \, , \, x_0+\frac \vareps k [ \,\cap \, {\large I} \;,\, |f(y)-f(x_0)| \le k.|y-x_0| \le k \, \frac \vareps k \le \vareps

f est continue en x_0.

Valable pour tout x_0 de I donc f est continue sur I.


1-c/

Considère la fonction \large g:\relstack{I\to {\mathbb R} \vspace{5}}{x \to f(x)-x}

g est continue sur I
g(a)=f(a)-a \ge 0          car f(a) \in I \Longrightarrow f(a) \ge a
g(b)=f(b)-b \le 0          car f(b) \in I \Longrightarrow f(b) \le b
Par le théorème des valeurs intermédiaires, \exists \alpha \in [a,b] \rm{ tel que } g(\alpha)=0 \;\;\;(\Longleftrightarrow f(\alpha) =\alpha )

D'après 1-a/,  \alpha existe et est unique



2-a/

Par récurrence
Tu prouves l'hérédité en écrivant :
|u_{n+1}-\alpha| = |f(u_n)- f(\alpha)| \; \le \; k\,|u_n-\alpha|     

Je te laisse rédiger la fin.

Bon courage!

Posté par mimi66 (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 24-12-04 à 12:37

merci beaucoup d'avoir consacré votre temps pour m'aider à trouver les solutions de mon exercice

Posté par
franzre : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 24-12-04 à 12:55

C'est avec plaisir que je reçois cette aimable réponse.
Joyeuses fêtes de Noël.

Posté par mimi66 (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 24-12-04 à 13:35

oh...J'aurais une dernière petite question excusez moi.Si vous n'y répondez pas, ce n'est pas grave.
C'est dans un exercice sur les suites il ya une question qui me pose problème.
L'énoncé me dit:
Soit (Un) une suite définie par Uo appartenant à R et
U(n+1)=(2Un -1)/(Un+4) pour tout n appartenant à N
On suppose Uo>-1 et il faut montrer que la suite est bien définie alors j'avais pensé à une récurrence mais ce que je fais ne va pas, j'ai dit que la propriété était:"Un différent de -4" et j'essaie de faire ma récurrence avec cela mais je m'aperçois que ça ne va pas du tout!
Si vous pouvez me répondre, j'en serai heureuse mais je pense que vous avez suffisamment passé de temps sur mes exercices!Et je vous en remercie car vous m'avez fourni une sacrée aide!!Bonne fêtes de Noël à vous aussi

Posté par Emma (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 24-12-04 à 14:00

Salut mimi66

En attendant de voir ce que cela donne avec la récurrence, je te propose une autre méthode :

On peut remarquer que, pour tout n, u_{n+1} = f(u_{n}) où f : x f(x) = \frac{2.x\;-\;1}{x\;+\;4}.

Si tu étudies les variations de f sur ]-1 ; +\infty [, tu remarqueras que f est croissante sur cet intervalle.
Donc, pour tout x de ]-1 ; +\infty, f(x) > f(-1) = -1

Cela te permet de démontrer (sachant que u_{0} > -1) que, pour tout entier naturel n, u_{n} > -1

@+

Posté par Emma (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 24-12-04 à 14:22

Alors, pour ce qui est de la démonstration par récurrence, tu as voulu démontrer que pour tout n de , u_{n}\;\neq\;-4.
Mais l'énoncé nous donne comme hypothèse que u_{0}\;>\;-1 et pas u_{n}\;\neq\;-4

C'est pour ça que j'aurais été tentée de démontrer plutôt que pour tout n de , u_{n}\;>\;-1

J'ai quand même essayer te faire ta démonstration... mais sans succès...

Je te propose donc la mienne :


-------------------
Soit n un entier naturel quelconque.
Supposons que u_n\;>;-1
Alors u_{n+1}\;>\;-1 si, et seulement si, 3$\frac{2u_{n}\;-\;1}{u_{n}\;+\;4}\;>\;-1

c'est-à-dire si, et seulement si, 3$\frac{2u_{n}\;-\;1}{u_{n}\;+\;4}\;+\;1>\;0

c'est-à-dire si, et seulement si, 3$\frac{2u_{n}\;-\;1\;+\;u_{n}\;+\;4}{u_{n}\;+\;4}>\;0

c'est-à-dire si, et seulement si, 3$\frac{3u_{n}\;+\;3}{u_{n}\;+\;4}>\;0

c'est-à-dire si, et seulement si, 3$\frac{3.(u_{n}\;+\;1)}{u_{n}\;+\;4}>\;0

Or, par hypothèse de récurrence, u_{n}\;>\;-1.
Donc\;\;\;\;u_{n}\;+\;1\;>\;0\;\;\;\;et\;\;\;\;u_{n}\;+\;4\;>\;3\;>\;0

Finalement, on a bien 3$\frac{3.(u_{n}\;+\;1)}{u_{n}\;+\;4}>\;0,
ce qui nous permet de déduire que u_{n+1}\;>\;-1

---------
Ainsi, poour tout n de , si u_{n}\;>\;-1, alors u_{n+1}\;>\;-1.
Or, pour n = 0, u_{0}\;>\;-1
Donc, Ainsi, pour tout n de , u_{n}\;>\;-1.

@+
Emma

Posté par mimi66 (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 24-12-04 à 17:24

merci vraiment beaucoup c'est gentil!!!!je comprends bcp mieux

Posté par Emma (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 25-12-04 à 10:58

Pas de quoi, mimi
Ravie que tu aies compris !

@+
Emma exercice sur la résoltuion d une équation par itérations

Posté par mimi66 (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 26-12-04 à 15:15

je me fais lourde mais je dois démontrer que la suite est convergente et déterminer sa limite
Alors d'une part j'ai fait un raisonnement qui me faisait aboutir à une limite égale à -1 or c'est pas possible puisque l,la limite doit etre strictement supérieure à -1 u alors quand on fait le tableau de variations on trouve 2 nan?

Posté par Emma (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 26-12-04 à 15:21

Pas de problème, mimi66 ...

D'ailleurs, tu as raison :la limite sera forcément supérieure ou égale à -1 (puisque tous les termes de la suite sont strictement supérieurs à -1)

Bon, il me semble que je trouve l = 1
Je vérifie mes calculs et je te rédige ça

A tout de suite

Posté par Emma (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 26-12-04 à 15:39

Bon, alors, pour tout entier naturel n, 3$ u_{n+1}\;=\;\frac{2.u_{n}\;-\;1}{u_{n}\;+\;4}.
Donc, avec la fonction f que j'avais introduite dans mon message du 24/12/2004 à 14:00,

Supposons que la suite (u_n)_N converge, et notons l sa limite :


Alors
--> \lim_{n\to +\infty} \;[\;u_n\;]\;\;\;\;; donc on a également \;\;\;\lim_{n\to +\infty} \;[\;u_{n\;+\;1}\;]\;\;=\;\;l\;\; (car lorsque n tend vers +\infty, il en est de même de (n+1) )


Mais d'autre part,
--> \lim_{n\to +\infty} \;[\;u_n\;]\;\;\;\;; donc \;\;\;\lim_{n\to +\infty} \;[\;2.u_n\;-\;1\;]\;\;=\;\;2.l\;-\;1\;\;\;\;et \;\;\;\lim_{n\to +\infty} \;[\;u_n\;+\;4\;]\;\;=\;\;l\;+\;4\;\;\;\;

Ainsi, \lim_{n\to +\infty} \;[\;\frac{2.u_{n}\;-\;1}{u_{n}\;+\;4}\;]\;\;=\;\;\frac{2.l\;-\;1}{l\;+\;4}

C'est-à-dire (puisque u_{n+1}\;=\;\frac{2u_{n}\;-\;1}{u_{n}\;+\;4}) \;\;\;\lim_{n\to +\infty} \;[\;u_{n\;+\;1}\;]\;\;=\;\;\frac{2.l\;-\;1}{l\;+\;4}


----

Ainsi, on a d'une part \;\;\;\lim_{n\to +\infty} \;[\;u_{n\;+\;1}\;]\;\;=\;\;l\;\; et d'autre part \;\;\;\lim_{n\to +\infty} \;[\;u_{n\;+\;1}\;]\;\;=\;\;\frac{2.l\;-\;1}{l\;+\;4}

Donc, par unicité de la limite, on a :
\;\;l\;\;=\;\;\frac{2.l\;-\;1}{l\;+\;4}

Il s'agit donc de résoudre cette équation...
Je te laisse faire !
(mais, je te confirme que je trouves l = -1 : la preuve : \large \array{ccl $ \frac{2\;\times\;(-1)\;-\;1}{(-1)\;+\;4} & = & \frac{-2\;-\;1}{-3} \\ \vspace{5} \\ & = & \frac{-3}{-3} \\ \vspace{5} \\ & = & -1

@+
Emma

Posté par mimi66 (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 26-12-04 à 15:44

ce que je ne comprends pas c'est que comme on a dit précédemment que Un est strictement supérieur à -1 comment se fait il que la limite puisse être -1?
Merci de m'avoir répondu en tous les cas aussi précidément et rapidement!

Posté par mimi66 (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 26-12-04 à 20:57

ah non c bon g compri ms en fait, à chaque question je bute donc faudrait encore que je pose une petite question...
ils me demandent ensuite de calculer U50 quand Uo=1 alors je ne sais pas comment faire
je me suis dit qu'il fallait trouver une relation de Un en fonction de n peut être mais je n'arrive pas à la déterminer

Posté par mimi66 (invité)re : exercice sur la résoltuion d une équation par itérations 27-12-04 à 18:53

....


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