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exercice sur la trace
Bonsoir, j'ai besoin d'aide svp,
j'ai un exo à faire sur les traces,
en gros j'ai une application u(M) = -M+tr(M)*In (c'est un endomorphisme qui va de Mn(R) dans Mn(R)
j'ai réussi les 2 premières questions, et peut etre la 3eme
1)Mq tr est une app linéaire
2) mq que pr toutes matrices M et N : tr(MN)=trNM)
3) Mq u est un automorphisme de R
j'ai essayé de montrer que c'est injectif pour affirmer la bijectivité
4)Déterminer u²
5)Déterminer les vp et les SEP de u
6) u est il diagonalisable ?
pour la 4 j'ai trouvé -u(M) -tr(M)(n+1) mais je suis pas sûr (n = Tr(In))
merci d'avance
Bonsoir, et bonne année.
Pour la question 3, il faut montrer que u est une application linéaire de Mn(R) dans Mn(R), ce qui me semble assez facile (je ne l'ai pas fait), puis montrer que ker(u)={0}.
Pour ce point on peut commencer par remarquer que u(M)=0 entraîne que M est diagonale. La suite me semble assez simple car on a alors tr(u(M))=-tr(M)+n*tr(M).
Ce qui permet de voir que u est un automorphisme dès que n>1.
Pour la question 4 on peut remplacer -u(M) par M-tr(M).In.
pour la 3 j'ai dis que M appartient à ker(u) <=>tr(M)*In=M et ensuite je compose pas tr du coup j'ai que tr(M)*Tr(In)=M ie nTr(M)=M or n est d'apres enoncé supérieur ou égal à 2 ce qui laisse une contradiction donc ker est réduit à 0
pour la 4 du coup je trouve M-tr(M)*In -Tr(M)(n+1)
peut on dire que ça vaut -u(M)-Tr(M)(n+1) pour ensuite dire que X²+X+(n+1) est un polynome annulateur de u?
Pour la 5 , partir de l'idée u(M)= lambda * M ssi (puis on deroule), est elle une bonne idée?
En math, il est judicieux de penser avant d'écrire n'importe quoi.
Si est une valeur propre de
alors il existe
tel que
.
M-tr(M)*In -Tr(M)(n+1)
du coup, je peux affirmer que X²-X-(n-2) est un polynome annulateur de u et dire que ses valeurs propres sont les solutions de l'equation = 0 ?
du coup je trouve delta = a²+4b²+4ba mais je vois pas comment continuer apres, je sais que les valeurs propres sont les solutions mais je pige pas avec l'histoire des a et b, ils appartiennent à R et on peut exprimer avec cela des valeurs propres?
Bonjour !
Tu te compliques bien la vie avec la recherche d'un polynôme annulateur (lionel52 te l'as trouvé mais il reste à remplacer par leurs valeurs :
).
Plus simplement : . Tu disposes ainsi d'un espace propre associé à
qui est un hyperplan (dimension
).
Il est évident que donc tu as un vecteur propre pour la valeur propre
.
Ah je comprends mieux, mais donc c'est M qui est un hyperplan? et comment faites vous pour savoir que c'est un hyperplan de dimension n²-1 ? (c'est pas plutôt n-1)
du coup In est aussi un SEP ? mais sa dimension c'est n ?
du coup u n'est pas diagonalisable car la somme des dimensions vaut pas n²?
Bonsoir,
la trace est une application linéaire de dans
.
D'après le théorème du rang on a
In engendre le sous-espace propre associé à la valeur propre n-1.
Sous-espace propre dont la dimension est 1 car il est engendré par un élément non nul.
mais est-ce que ça convient pour l'application u ?
Que désignes-tu par ça ?
Bonsoir, j'ai besoin d'aide svp,
j'ai un exo à faire sur les traces,
en gros j'ai une application u(M) = -M+tr(M)*In (c'est un endomorphisme qui va de Mn(R) dans Mn(R)
j'ai réussi les 2 premières questions, et peut etre la 3eme
1)Mq tr est une app linéaire
2) mq que pr toutes matrices M et N : tr(MN)=trNM)
3) Mq u est un automorphisme de R
j'ai essayé de montrer que c'est injectif pour affirmer la bijectivité
4)Déterminer u²
5)Déterminer les vp et les SEP de u
6) u est il diagonalisable ?
merci d'avance
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