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Niveau seconde
Exercice sur le produit scalaire
Posté par teyo
Bonsoir/bonjour j'aimerais obtenir après plusieurs efforts en vain une aide sur le problème suivant :
On considère un triangle ABC et M un point quelconque.
1)Démontrer que: MA . BC+MB . CA+MC . AB=0.
2)Soit H le point d'intersection de deux hauteurs .
Démontrer en utilisant la première que H appartient aussi à la troisième hauteur.
3)Par une méthode analogue, redémontrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes.
Merci d'avance .
écrire la relation précédente en écrivant H au lieu de M
certains produits scalaires dans cette formule sont déja nuls parce que ce sont des hauteurs
il en reste un ...
L'astuce consiste à faire intervenir les milieux D, E, F de BC, CA et AB
on peut se lancer dans des calculs de décomposition de vecteurs plus ou moins alambiqués (c'est sans doute ce qu'attend l'énoncé) ou réfléchir un peu à ce que représentent les médiatrices de ABC pour le triangle DEF
la conclusion est instantanée sans aucun calcul.
mais ceci donne une idée de rédaction faisant "plaisir" à l'énoncé, c'est à dire avec les vecteurs et utilisant encore cette même relation en remarquant que etc