Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Exercice sur les compacts
Enoncé :
Soit (E,||.||) un K-espace vectoriel normé, de dim<+
a) Montrer que (e,||.||) est complet et que ses parties compactes sont les fermés bornés.
b) Soit f:E->E continue tel que quelque soit x
0, ||f(x)||<||x||
Montrer que la suite des itérés gn=fn=fofof...of converge vers 0 uniformément sur les compacts de E.
Donc le a) c'est bon, mais le b) je l'ai fait "en ligne" mais c'est pas terrible, j'aimerais le faire avec des boules (ouvertes,fermées..), quelqu'un aurait-il la solution ? Merci pour tout..
Salut 
Pour la a), je suppose que tu as utilisé le fait que R^n est complet pour la norme produit et tu as utilisé l'homéomorphisme entre ton espace vectoriel et R^n
Pour la b), je pense au théorème du point fixe !
et bien oui c'est une bonne idée, mais serait-il possible de le faire avec les boules ? Le point fixe c'est un peu ce que j'ai utilisé moi, mais j'aimerais le faire avec des boules...
Salut,
je me pose une question, est-ce que f est une fonction linéaire ?
merci
Bonjour ;
klevia >> Non , n'est pas nécessairement linéaire .
Je reformule l'exercice :
étant un
ou
espace vectoriel normé de dimension finie ,
si une application continue vérifie
alors pour tout compact de
on a
(c'est à dire que la suite des itérées de converge uniformément vers l'application nulle sur tout compact de
)
(à suivre)
L'application (étant continue) est bornée sur le compact
soit alors
et
,
il va de soit que et il nous suffira donc de prouver que
.
L'hypothèse continue et
donne que ,
- (unique point fixe de
).
-.
étant stable par toutes les itérées de
posons pour tout
,
,
il est facile de voir que est une suite décroissante de parties compactes non vides de
et si , l'exercice revient à prouver que K=\{0_E\}
Finallement j'y suis arrivé, grâce à un ptit tour à la BU, si vous souhaitez la réponse, je vous la donne !
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac