bonjour caramelle
permettez moi de vous répondre

pour le 1) vous savez faire

2) écrivez:

z-1=z-|z|+|z|-1  ; en retranchant et en ajoutant |z|
   =(z-|z|)+(|z|-1)

donc
|z-1|=|(z-|z|)+(|z|-1)|
     <=|z-|z|| + ||z|-1| ; en appliquant l'inégalité triangulaire

pour le 3) il doit y avoir une erreur d'énoncé. vérifiez svp.

en tout cas voici un encadrement plus naturel:

z=|z|exp(iarg(z))
donc

z-|z|=|z|(exp(iarg(z)) - 1)
     =|z|exp(iarg(z)/2)(exp(iarg(z)/2) - exp(-iarg(z)/2))
     =2i|z|exp(iarg(z)/2)sin(arg(z)/2)
et en prenant le module de chaque membre vous obtenez:
|z-|z||=2|z||sin(arg(z)/2)|

donc:|z-1|<=||z|-1| + 2|z||sin(arg(z)/2)|

voila je ne sais pas si cet encadrement répond à votre question. vérifiant en tout cas votre énoncé pour le 3)

bon courage

pr la 3 eme ,watik a fait presque tt le travail ..je continue
comme |z-1|<=||z|-1|+2|z||sin(arg(z)/2)|
or d aprè la question num 1  on a |sin(arg(z)/2)|<=|arg(z)/2|
par suite |z-1|<=||z|-1|+2|z||(arg(z)/2)|
          |z-1|<=||z|-1|+|z||(arg(z)|
d ou le resultat