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Exercice sur les ensembles.
Bonsoir à tous !
Je bloque sur un exercice assez intéressant, j'ai cherché et trouvé (?) quelques réponses. Voici l'énoncé :
Soient n et p des entiers naturels non nuls, et X et Y des parties de R de cardinaux respectifs p et n.
1) Déterminer le cardinal de l'ensemble E des applications strictement croissantes de X dans Y.
ça j'ai trouvé, c'est p parmi n.
2) On considère le cas particulier où X = [1,p] et Y = [1,n].
On note F l'ensemble des applications croissantes de X dans Y, et G l'ensemble des applications strictement croissantes de X dans [1, n+p-1].
a) Soit 
un élément de F fixé.
Notons 
: X
[1,n+p-1], k
(k) +k-1.
Montrer que est bien définie et qu'il s'agit d'un élément de G.
Pour montrer que c'est bien défini, je me suis demandé comment relier phi (qui appartient à Y) à n, mais il est clair qu'il n'y a pas n applications croissantes ... Comme k appartient à X, là on peut relier avec p.
Pour montrer que c'est un élément de G, j'ai étudié (k+1) et j'ai après avoir manipulé les inégalités trouvé (k+1)-1 > (k) d'où le résultat.
Je n'ai pas encore traité les questions suivantes, mais je les mets. Je voudrais néanmoins avant de les faire avoir bien compris la question a).
b) On fait maintenant varier dans F. L'application dépend alors de et sra notée alors U().
On définit ainsi une application U de F dans G qui à tout élément de F associe l'élément U() de G.
Montrer que U est bijective.
c) En déduire le cardinal de F.
Merci de vos réponses pour la question 2a) !
Bonne soirée à tous !
Bonsoir,
En effet tu n'a pas compris la question.
est un élément fixé. Elle est bien définie car
donc
. Pour ce qui est de l'inégalité elle est fausse :
imagine telle que
alors
Mais il faut (et il suffit) bien de montrer qu'elle est strictement croissante.
par la suite on montre que grâce à on défini une bijection de
dans
et on déduit facilement le cardinal de F.
Bonsoir matovich, merci pour ta réponse, je comprends mieux 
Alors pour ce qui est de la stricte croissance.
On part de (k+1) et l'on va comparer à (k).
On a : (k+1) = (k+1)+k.
Or, (k+1)>(k).
Donc on a (k+1) > (k)+1, c'est bien cela ?
Euh..je dois avouer qu'il est difficile de te déchiffrer les > sont en fait des (sinon c'est faux) mais sinon c'est bon.
Oui tu as raison, ce sont des 
.
Donc avec ces signes, on a bien la différence des "psi" qui est 1, donc >0.
Et c'est gagné 
Merci beaucoup pour tes réponses
Je t'en prie. Il faut savoir que ce simple exercice a des développement très intéressant. Il permet par exemple de résoudre le problème de Waring d'ordre 1 ou de dénombrer les dérivées partielles d'un certain ordre... sauf qu'il faut déjà se ramener à ce problème qu'il faut ensuite résoudre (et sans question intermédiaires ). Difficile... du coup on penche plutôt en général pour de très délicates récurrences (et on se plante 
).
Je viens de voir ce problème sur Wikipédia, ça me semble bien délicat en effet
Pour la bijectivité de U, je pense qu'il faut d'abord montrer que U est injective, puis surjective.
(à moins qu'il y ait une méthode plus simple).
Pour l'injectivité, on peut utiliser le fait que U appartient à l'ensemble des applications strictement croissantes => injective.
Pour la surjectivité, ça me semble plus délicat ...
L'implication pour l'injectivité suffit pour conclure, mais parler de bijection réciproque sans avoir prouvé que U est bijective est maladroit non ?
Mon prof risque malheuresement de ne pas apprécier, mais je vais faire cette recherche à part.
Puis-je toutefois prouver la surjectivité de U ?
Ce que je peux faire sans qu'il ne soit pas choqué, je cite "on ne doit pas parler de f-1 sans avoir prouvé au préalable que f est bijective." c'est trouvé effectivement cette réciproque, et montrer que U o "cette réciproque" = Identité et conclure avec le théorème de caractérisation des bijections ! =)
Oui. Je partage l'avis de ton professeur. Mais comme tu le dit on peux faire le coup du : oh ! ben ça alors !
Et c'est tout à fait correct et accepté.
Parfait
Donc, pour notre bijection réciproque, elle va de G dans F.
Ok, la seule application qu'on connaît et qui est un élément de G est .
Donc il faut trouver une application qui a associe un élément de F.
Tu m'as l'air un peut mal parti...Considère mettons dans
.
Et trouve tel que la définition de
dépende de
comme la définition de dépend de
de telle sorte que
soit dans
.
Bonjour
Me voilà un peu plus réveillé que hier soir !
Ok, je vois ce que tu veux dire. Ce 
doit être un élément de F.
Mais le seul élément de F que l'on connaît c'est .
A ce 
on associerait alors ().
Hum, en fait, je viens de comprendre ta phrase.
Je vais chercher cette application et te dire ce que je trouve
Euh, tu es sûr d'être plus éveillé qu'hier.
est un élément de
elle prend comme paramètre un entier entre
et
et pas un élément de
.
Sinon, je crois encore une fois que tu as saisi le principe (même si ce n'est pas tout à fait ce que j'ai voulu te faire comprendre).
Tu dois déterminer ce nouveau qui n'est pas un élément de
et que tu ferais bien de renommer.
Je vais te donner un coup de pouce en te proposant
Merci pour ce coup de pouce ! J'imagine que ton application 
correspond au de ton message précédent ?
Je dois donc vérifier que appartienne à F.
Oki, alors c'est parti :
(k+1) = (k+1)-k.
Or, comme 
G,
(k+1) -k > (k) -k
Soit (k+1) > (k)-1.
Or, comme alpha est à valeurs dans [1,n], on a bien alpha qui appartient à F.
J'ai donc une application qui appartient à F.
Et l'on cherche une application qui va de G dans F.
Tout bon...
Et l'on cherche une application qui va de G dans F.
Elle ne devrait pas être trop difficile à trouver maintenant non ?
Eh bien ça serait une application telle que :
()
C'est un peu comme ce qui est dit dans l'énoncé : on considère un élément de G theta, et on le fait "varier", l'application alpha ainsi définie dépend alors de !
Oui, on a fait exactement la même chose que ce qui est donné dans l'énoncé en changeant 2 signes. Et on a la réciproque.
Il manque à vérifier effectivement que l'application, on va l'appeller ... H soit la bijection réciproque de U.
Ca nous ferait donc UoH() = theta.
Donc UoH = (k) -k +1 +k -1 = theta.
Donc H est bien la bijection réciproque de U, et l'on peut donc conclure ? (il manque peut-être un élément dans la rédaction).
En tout cas merci beaucoup pour ton aide ! J'ai bien compris comment marche l'exercice grâce à toi =) !
Je t'en prie. Là, tu as vérifié que H est réciproque à droite tu as donc la surjectivité. Pour l'injectivité il faut .
Ok, pour l'injectivité, on a effectivement besoin de
HoU = Id :
HoU = (k) + k -1 -k +1. = (k).
Donc on a bien HoU injective et surjective, donc bijective.
Conclusion : card F c'est le cardinal des applications strictement croissantes de X dans [1,n+p-1] c'est à dire ... p parmi n+p-1 !
Merci beaucoup !
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