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Exercice sur les ensembles
Bonjour,
J'ai du mal à finir la démonstration suivante :
Soit F un ensemble et soit l'application
Démontrez que g est bijective ssi pour toute partie E de F
Avec est le complémentaire de E dans F.
J'ai déjà commencé par démontrer par l'absurde que g est bijective comme ceci :
On suppose et g est bijective
Donc, pour tout y de il existe un x appartenant à
tel que g(x) = y
Et y appartient aussi à car
donc il existe aussi un x' appartenant à
tel que g(x') = y
Donc g ne peut pas être bijective car pour on a g(x) = y et g(x') = y
Par contre pour l'autre sens, je ne vois pas comment faire...
Pour A 
F , je note A ' le complémentaire de A .
Si g : F 
F vérifie " 
A F , g(A ') = (g(A))' " alors :
1. g est surjective car : F = 
' = (g()) ' = g(F) .
2.g est injective car pour tout X F et tout Y F on a : g(X
Y) = g(X)g(Y) (à voir !)
salut
je ne comprends pas comment tu peux écrire ::
Et y appartient aussi à
en notant E* le contraire de E
pour toute partie E g(E*) = g(E)* => g est bijective ::
g(
) = évidemment
donc g(F) = g(
*) = * = F
donc g est surjective
RAP : toute partie et son contraire forment une partition du tout .... donc sont disjointes
pour tout f de F posons E = {f}* ; alors ::
d'une part : g({f}) = {g(f)}
d'autre part : g({f}*) ={g(f)}* <=> pour tout e de E g(e) <> g(f)
donc g est injective
Y ') = g(X ')
salut
je ne comprends pas comment tu peux écrire ::
Et y appartient aussi à
Je pensais que comme
Je suis désolé d'être aussi bête mais en quoi tout cela montre-t-il l'injectivité ?
La définition que je connais c'est que si x1 = x2 alors g(x1) = g(x2) ?
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