Coucou Arno091,
Pour les question 2)a) et 2)b), tu pourrais peut-être essayer de faire une récurrence, je pense que ça devrait marcher.
Sinon pour la question 2)c), tu as que 1/(2^(n+1)) tend vers 0 lorque n tend vers l'infini, par le "théorème des gendarmes" (la limite de un-l est comprise entre 0 et 0), tu déduis facilement que (un) tend vers l.(enfin, je pense que ça devrait marcher)
Joyeux noël!

1)
a)
f(-x) = e^(-x)/(e^(-2x)+1)
f(-x) = (1/e^(x))/(1+(1/e^(2x)))
f(-x) = (1/e^(x))/((e^(2x)+1)/e^(2x))
f(-x) = (e^(2x)/e^(x))/(e^(2x)+1)
f(-x) = (e^x)/(e^(2x)+1)
f(-x) = f(x)
Et donc f est paire
---
f(x) = (e^x)/(e^(2x)+1)
f '(x) = (e^x(e^(2x)+1)-2e^(2x).e^x)/(e^(2x)+1)²
f '(x) = (e^(3x)+e^x)-2e^(3x))/(e^(2x)+1)²
f '(x) = (e^x - e^(3x))/(e^(2x)+1)²
f '(x) = e^x(1 - e^(2x))/(e^(2x)+1)²
Comme  e^x/(e^(2x)+1)² > 0 dans R, f '(x) a le signe de 1 - e^(2x)

f '(x) > 0 pour x dans ]-oo ; 0[ -> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; oo[ -> f(x) est décroissante.

Il y a un maximum de f(x) pour x = 0, ce max vaut f(0) = 1/(1+1) = 1/2
---
lim(x-> -oo) f(x) = 0/1 = 0
lim(x-> oo) f(x) = lim(x->oo) [e^x/(e^x(e^x+(1/e^x)))] = lim(x->oo) [1/(e^x+(1/e^x)))] = 1/oo = 0
---
De tout ce qui précède, on a:
0 < f(x) <= 1/2 pour tout x de R.   (1)

f(0) = 0,5
soit g(x) = x
g(x) < 0 dans R- et f(x) > 0 dans R- -> pas de solution à f(x) = x dans R-.

g(0) = 0.
g(x) est croissante sur R.
lim(x->oo) g(x)- = oo
f(x) est décroissante sur R+
Donc les courbes de g(x) et f(x) vont se rencontrer en 1 et 1 seul point sut R+, en ce point, on aura f(x) = x.
Soit I l'absciees de ce point. En ce point, on a f(I) = I
Comme 0 < f(x) <= 1/2, on a alors 0 < I <= 1/2
-----
f '(x) = e^x(1 - e^(2x))/(e^(2x)+1)²
1°)
si x < 0, alors f '(x) > 0 ->  |f '(x)| = e^x(1 - e^(2x))/(e^(2x)+1)²
|f '(x)| - f(x) = e^x(1 - e^(2x))/(e^(2x)+1)² - (e^x)/((e^2x)+1).
|f '(x)| - f(x) =  [e^x(1 - e^(2x)) - e^x.((e^(2x))+1)]/(e^(2x)+1)²
|f '(x)| - f(x) =  (e^x - e^(3x) - e^(3x)-e^x)/(e^(2x)+1)²
|f '(x)| - f(x) =  -2e^(3x)/(e^(2x)+1)²
Et comme e^(3x)/(e^(2x)+1)² > 0 pour tout x ->
|f '(x)| - f(x) < 0
|f '(x)| < f(x)

2°)
si x > 0, alors f '(x) < 0 ->  |f '(x)| = -e^x(1 - e^(2x))/(e^(2x)+1)²
|f '(x)| - f(x) = -e^x(1 - e^(2x))/(e^(2x)+1)² - (e^x)/((e^2x)+1).
|f '(x)| - f(x) =  [-e^x(1 - e^(2x)) - e^x.((e^(2x))+1)]/(e^(2x)+1)²
|f '(x)| - f(x) =  (-e^x + e^(3x) - e^(3x)-e^x)/(e^(2x)+1)²
|f '(x)| - f(x) =  -2e^x/(e^(2x)+1)²
Et comme e^x/(e^(2x)+1)² > 0 pour tout x ->
|f '(x)| - f(x) < 0
|f '(x)| < f(x)

Donc |f '(x)| < f(x) pour x dans R.  (2)

(1) et (2) -> |f '(x)| < f(x) <= 1/2
-----
Je passe le relais à un autre volontaire pour continuer.

Sauf distraction.  

Merci à vous deux
nad_summers => oui j'avais pensé à faire cela mais je n'étais pas totalement convaincu de l'utiliser. Je vais chercher sur cette piste
J-P => un grand merci J-P, j'avais trouvé des éléments et cela confirme mes pensées.
Merci

2)

Si on a fait la partie 1 de l'exercice, c'est pour s'en servir dans la seconde partie.

On a montré 0 < f(x) <= 1/2

U(0) = 0, f(0) = 1/2
Or U(n+1) = f(U(n))
U(1) = f(U(0))
U(1) = f(0) = 1/2

U(1) est dans ]0 ; 1/2], et donc U2 = f(U1) est dans ]0 ; 1/2]
U(1) est dans ]0 ; 1/2], et donc U = f(U) est dans ]0 ; 1/2]
Et ainsi de proche en proche, U(n) est dans ]0 ; 1/2] pour tout n de N*.
Avec U(0)= 0, on a donc: U(n) est dans [0 ; 1/2] pour tout n de N.

Cette fois, je passe vraiment la main au suivant.

Salut

Dans la première partie de la question b, il s'agit de montrer que pour tout entier naturel n,

C'est-à-dire que

Et là ==> réflexe : cette inégalité ressemble étrangement à l'inégalité des accroissements finis...

Petit rappel :
<font color=blue><b>SI f est continue sur [a ; b] et dérivable sur ]a ; b[ (car dérivable sur ), et si de plus, il existe un nombre réel M positif tel que, pour tout x de [a ; b],
ALORS pour toux x et y de ]a ; b[, </b></font>


Vérifions rapidement que nous sommes dans les conditions d'application de ce théorème :
--> f est continue sur [0 ; ] (car continue sur )
--> f est dérivable sur ]0 ; [ (car dérivable sur )
--> Pour tout x de ]0 ; [, (car c'est vrai pour tout réel x, d'après la question 1.c)
C'est gagné : pour tous x et y appartenant à [0 ; ], on a donc


Soit n quelconque dans
Posons x = : d'après la question 2.a), x [0 ; ]
Posons y = l : d'après la question 1.b), y [0 ; ]

Donc, d'après l'inégalité des accroissements finis,

Dans la seconde partie de la question 2.a), on te demande de démontrer que, pour tout n de , .

Raisonnons pas récurrence :

---------
1.
Pour n = 0,

Or, d'après la question 1.b), , et
Donc .


---------
2.
Soit n un élément quelconque de .
Supposons que .

Alors

Or, d'après la question précédente,

Donc .

---------
3. Ainsi, pour tout n de , si , alors
Or, pour n = 0, .

Donc,

Enfin, pour la question 2.c)


Donc

Or pour tout entier naturel n,
Donc, d'après le théorème des gendarmes, par passage à la limite lorsuqe n tend vers ,


Par suite,
et donc



---------

A toi de tout reprendre...

Bon courage

@+
Emma

merci, c'est ce que j'avais trouvé sauf pour une question que je n'avais pas réussi à faire. Merci pour toutes ces explications

Pas de quoi, Arno091

@+
Emma