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Exercice sur les Nombres Complexes (Terminale S)
Bonjour, voici l'exercice :
1. On pose z0=cos(2
/5)+isin(2/5).
a) On pose 
=z0+z04. Montrer que 1+z0+z02+z03+z04=0 et en déduire que est la solution de l'équation (1) : X2+X-1=0.
b) Déterminer en fonction de cos(2/5).
c) Résoudre l'équation (1) et en déduire la valeur cos(2/5)
2. On appelle A0, A1, A2, A3 et A4 les points d'affixes respectives 1, z0, z02, z03, z04=0 dans le plan muni d'un repère orthonormé direct (O;
;
).
a) Soit H le point d'intersection de la droite (A1A4) avec l'axe des abscisses. Montrer que l'abscisse de H est égale à cos(2/5).
b) Soit 
le cercle de centre 
d'affixe -1/2 passant par le point B d'affixe i. Ce cercle coupe l'axe des abscisses en M et N (on appellera M le point d'abscisse positive). Montrer que l'abscisse xM de M est égale à et que H est le milieu du segment OM.
Je ne comprends rien du début a la fin ...
Merci a vous de vous y plongez. 
Salut,
La première question c'est un résultat archi classique.
T'as plusieurs moyen de le faire.
Le moyen le plus simple c'est de remarquer que 1, z0, z0² etc... sont les racines du polynôme X² - 1. A toi de voir comment on peut en déduire que leur somme vaut 0.
Pour la déduction sur alpha, faut passer z0 sous forme trigo et remarquer ce que donne z05, une fois que ce sera fait ce sera easy, suffira d'injecter alpha dans l'équation donnée et tu obtiendras 0 après quelques lignes de calcul.
Pour la droite (A1A4) tu peux montrer que z0 et z04 ont même partie réelle. Faut jongler entre forme expo et forme trigo pour ça.
Pour le cercle faut juste calculer l'affixe de M (en sachant que sa partie imaginaire vaut 0 puisque sur l'axe des abscisses)
bonjour
1) a)
zo=cos(2Pi/5)+isin(2Pi/5)
c'est l'écriture de zo sous format trigonométrique. Tu remarques que son argument est 2Pi/5 donc (zo)^5=1 cad zo racine 5ième de l'unité.
===>A ce stade je te conseils de réviser rapidement le cours sur les racines nième de l'unité avant d'aller plus loin.
ensuite tu as l'expression 1+zo+zo²+zo^3+zo^4 qui est la somme des termes de la suite géométrique de raison zo. et tu dois savoir que
1+zo+zo²+zo^3+zo^4=(1-zo^5)/(1-zo) ; zo étant différent de 1.
====> A ce stade révise rapidement les suites géométriques et arithmétiques que tu as vues en 1ière.
comme zo^5=1 donc 1-zo^5=0 d'où 1+zo+zo²+zo^3+zo^4=0
sans avoir à le calculer à partir de zo=cos(2Pi/5)+isin(2Pi/5) ce qui t'aurait demander beaucoup de temps avec les risques de faires des erreurs de calculs. Et en Bac le temps est précieux.
je note a=alpha
a=zo+zo^4
a²=zo²+zo^8+2zo^5
=zo²+zo^3+2 ; car zo^5=1
donc
a²+a-1=(zo²+zo^3+2)+(zo+zo^4)-1
=1+zo+zo²+zo^3+zo^4
=0
donc a est solution de X²+X-1=0 (1)
b)
je note a=alpha
a=zo+zo^4
=exp(i2Pi/5)+exp(i8Pi/5) ; je passe à l'écriture exponentielle de zo car plus simple à manier
=exp(i2Pi/5)+exp(-i2Pi/5) ; car 8Pi/5=10Pi/5-2Pi/5=-2Pi/5 (2Pi)
=cos(2Pi/5)
c)
X²+X-1=0
Délta=1+4=5
deux solutions
X1=(-1+V5)/2 et X2=(-1-V5)/2
comme 0<2Pi/5<Pi/2 donc cos(2Pi/5)>0 donc a=cos(2Pi/5)=(-1+V5)/2
2)
a)
A1 a pour affixe zo=cos(2Pi/5)+isin(2Pi/5)
A4 a pour affixe zo^4 qui a pour argument -2Pi/5 (2Pi) ( on l'a déjà vu)
donc zo^4=cos(-2Pi/5)+isin(-2Pi/5)
donc zo et zo^4 sont conjugués.
la droite (A1A4) est donc parallèle à l'axe des ordonnées et passe par l'abscisse de A1 (ou A4) cad (A1A4) coupe l'axe des abscisses en H(cos(2Pi/5);0)
b) le cercle Phi a pour équation en complexe : |z+1/2|=V(1+(-1/2)²)=V5/2
l'intersection de Phi et de l'axe des abscisses est solution de |X+1/2|=V5/2
donc |X+1/2|²=5/4
donc (X+1/2)²=5/4
donc X²+X+1/4=5/4
donc X²+X-1=0 (1)
donc xM l'abscisse de M est solution de (1)
comme xM>0 donc xM=a
Merci de ta réponse watik cependant j'ai quelques questions pour l'exercice 1, pourquoi alpha2=z02+z08 (ça d'accord mais pourquoi +2z05 ?)
Enfaite je crois que je viens de comprendre, identité remarquable ? (z0+z04)2 j'avais pas vu ça comme ça mais oui effectivement 
J'ai fait une erreur à la 1);b)
je rectifie
b)
je note a=alpha
a=zo+zo^4
=exp(i2Pi/5)+exp(i8Pi/5) ; je passe à l'écriture exponentielle de zo car plus simple à manier
=exp(i2Pi/5)+exp(-i2Pi/5) ; car 8Pi/5=10Pi/5-2Pi/5=-2Pi/5 (2Pi)
=2cos(2Pi/5) ; il manque le 2
c)
X²+X-1=0
Délta=1+4=5
deux solutions
X1=(-1+V5)/2 et X2=(-1-V5)/2
comme 0<2Pi/5<Pi/2 donc cos(2Pi/5)>0 donc a=2cos(2Pi/5)=(-1+V5)/2
d'où cos(2Pi/5)=(-1+V5)/4
2)
a)
A1 a pour affixe zo=cos(2Pi/5)+isin(2Pi/5)
A4 a pour affixe zo^4 qui a pour argument -2Pi/5 (2Pi) ( on l'a déjà vu)
donc zo^4=cos(-2Pi/5)+isin(-2Pi/5)
donc zo et zo^4 sont conjugués.
la droite (A1A4) est donc parallèle à l'axe des ordonnées et passe par l'abscisse de A1 (ou A4) cad (A1A4) coupe l'axe des abscisses en H(cos(2Pi/5);0)
b) le cercle Phi a pour équation en complexe : |z+1/2|=V(1+(-1/2)²)=V5/2
l'intersection de Phi et de l'axe des abscisses est solution de |X+1/2|=V5/2
donc |X+1/2|²=5/4
donc (X+1/2)²=5/4
donc X²+X+1/4=5/4
donc X²+X-1=0 (1)
donc xM l'abscisse de M est solution de (1)
comme xM>0 donc xM=a
comme xH=cos(2Pi/5) donc xH=a/2=xM/2
donc OH=(1/2)OM ; en vecteurs
donc H est le milieu de [OM]
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