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exercice sur les suites..
Bonjour ,
j'ai une fonction f tel que f(x+1)-f(x)
f'(x) f(x)-f(x-1) pour x
[1;+inf]
soit la suite Sn=
f'(k) pour k allant de 1 à n
je dois montrer que si f(x) tend vers l au voisinage de +infini alors Sn converge.
bref , moi j'ai utiliser la relation précédente mais j'obtiens l-f(1) Snl-f(0)
donc la je ne peut pas conclure en utilisant les gendarmes.
Bonjour,
Ecrit quelques lignes de la forme f(x+1)-f(x) f'(x) f(x)-f(x-1) avec x = 1, 1, 3, 4...les unes au dessous des autres
Additionne verticalement
Fais une hypothèse de récurrence et démontre-la
Conclus...
ouai , j'obtiens f(x)-f(1) Snf(x)-f(0)
et par passage à la limite , j'obtiens la relation l-f(1) Snl-f(0)
Désolé, je reprends un peu tard :
Tu as obtenu f(n)-f(l) <= Sn <= f(n)-f(0)
Donc -f(l) <= Sn - f(n) <= -f(0)
Pose Un = Sn - f(n), on va montrer que la suite Un est décroissante. Comme elle est minorée par -f(l) elle est convergente. Et comme f(n) converge, Sn converge.
Tu as :
Un - Un-1 = Sn - f(n) - (Sn-1 - f(n-1))
= (Sn - Sn-1) - (f(n) - f(n-1))
= f'(n) - (f(n) - f(n-1))
Or a partie droite de ta relation de départ te permet d'écrire :
f'(n) <= f(n) - f(n-1),
donc
f'(n) - f(n) - f(n-1) <= 0
Donc Un - Un-1 <= 0, donc Un <= Un-1
Donc Un est décroissante et on conclut comme annoncé précédemment.
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