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exercice sur les suites
Bonjour. Je suis en première année de prépa EC (commerce), et j'ai un DM de maths à rendre pour la rentrée. Comme vous pouvez vous en douter, je bloque !!, et un peu d'aide serait bienvenu...
voilà l'énoncé :
J'ai montré à la question précédente que : si (Un)n
no est une suite d'éléments de ]-1;+
[ (respectivement 
) qui converge vers 0, ln(1+Un)~Un (respectivement (1-cosUn)~Un²/2 , sinUn~Un , (eUn - 1)~Un ).
Aussi, j'ai ces propriétés : f(x) tend vers l lorsque x tend vers a si et seulement si pour toute suite (Un)n>=no d'éléments de A qui converge vers a, f(Un) converge vers l.
lim (x
0) ln(1+x)/x = 1
lim (x0) sinx/x = 1
lim (x0) (1-cosx)/(x²/2) = 1
lim (x0) (ex - 1)/x = 1
Enfin, la question est :
soit (Un)n1 = (n!)/(n^n). Montrer que lim (n) Un+1/Un = 1/e.
En déduire que n! = o(nn).
Montrer que pour tout a€IR*+, an = o(n!).
Pour la première partie de la question, j'ai calculé Un+1/Un = (n/n+1)n.
J'ai essayé pas mal de mes idées, en essayant d'utiliser les propriétés à ma disposition, en vain...
Si vous pouviez m'aider, ou m'éclairer en me donnant quelques pistes...
Merci beaucoup.
Un+1/Un=(n/n+1)^n=
alors ln(Un+1/Un)=nln(1+1/n)=-nln((n+1)/n)=-nln(1+1/n)
1/n tends vers O donc d'apres tes resultats ln(1+1/n) equivaut à 1/n
d'ou
ln(Un+1/Un) equivaut à -1 donc tends vers 1
et en reprenant l'eponentielle Un+1/Un tends vers e(-1)=1/e
Un+1/Un=(n/n+1)^n
alors ln(Un+1/Un)=nln(1+1/n)=-nln((n+1)/n)=-nln(1+1/n)
1/n tends vers O donc d'apres tes resultats ln(1+1/n) equivaut à 1/n
d'ou
ln(Un+1/Un) equivaut à -1 donc tends vers 1
et en reprenant l'eponentielle Un+1/Un tends vers e(-1)=1/e
merci beaucoup. J'avais pas pensé à ça...
PAr contre, pour la suite, (En déduire que n! = o(n^n)) :
il faudrait que je trouve que lim (x->infini) n!/n^n = 0 pour conclure que n! est négligeable devant n^n. Or, je ne vois pas ce que l'étude de la limite de U(n+1)/Un = 1/e apporte.
Je pensais à dire que Un = (Un/U(n+1))* U(n+1). Donc Un/U(n+1) converge vers e d'après le résultat précédent. Mais vers quoi converge U(n+1) ? Je n'arrive pas à trouver sa limite, j'ai une forme indéterminée à chaque fois.
Je me doute bien qu'il faut que j'utilise la limite de U(n+1)/Un mais je ne vois vraiment pas...
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