Niveau Maths sup

Exercice sur les suites

Posté par
henri IV 20-02-06 à 14:19

Bonjour à tous, pourriez vous m'aider sur cette question :

Nous avons tout d'abord la suite $(u_n)_{n \in N}$ définie par
$3$\{{U_{n+1} = u_n + u_n^2\atop u_0=a, a \in R*+}$ qui est strictement positive, croissante et divergente vers l'infini.

On définit la suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ par $v_n = \frac{1}{2^n}ln(u_n)$
On me demande de prouver que cette suite est majorée, puis qu'elle converge ver une limite notée $\alpha$
Avant cette question j'ai démontré que:
$0 < v_{n+k+1} - v_n \le \frac{1}{2^n}ln(1+\frac{1}{u_n})$

et que : $3$0 < v_{n+p+1} - v_{n+p} \le \frac{1}{2^{n+p+1}}ln(1+\frac{1}{u_n})$

Encore merci de votre aide.

Posté par jonjon14 (invité)re : exo sur les suites 21-02-06 à 00:30

Salut !

Pour la majoration je pense qu'on peut utiliser la première inégalité avec k=0. On peut sommer de cette façon :

$\bigsum_{i=0}^{n}v_{i+1}-v_i$ < $\bigsum_{i=0}^{n}\frac{1}{2^i}\ln(1+\frac{1}{u_i})$
ce qui donne $v_{n+1}$ < $v_0+\bigsum_{i=0}^{n}\frac{1}{2^i}\ln(1+\frac{1}{u_i})$

Comme u est croissante, $u_i$ > $u_0$ donc $\frac{1}{u_i}$ < $\frac{1}{u_0}$ et $\frac{1}{2^i}$ <1.
ln étant une fonction croissante on obtient $v_{n+1}$ < $v_0+\ln(1+\frac{1}{u_0})$

Posté par jonjon14 (invité)re : Exercice sur les suites 21-02-06 à 00:32

Pour ce qui est de la croissance, la première inégalité prise pour k=1 donne $v_{n+1}$ < $v_n$ ... donc c'est bon.

Alors la suite est croissante et majorée : elle est convergente.

Posté par jonjon14 (invité)CORRECTION !!! 21-02-06 à 00:37

Ce que j'ai dit pour la majoration est tout bonnement archi-faux...
En fait on obtient au final $v_{n+1}$ < $(n+1)(v_0+\ln(1+\frac{1}{u_0}))$ ,
ou encore $v_{n}$ < $(n)(v_0+\ln(1+\frac{1}{u_0}))$ ,
ce qui donne... rien du tout...
Je devrai peut-être réfléchir avant d'écrire...

Par contre pour la croissance, ça reste bon et pour la convergence aussi (à condition de réussir à trouver une majoration)

Désolé !!!

Posté par jonjon14 (invité)Petite idée... 21-02-06 à 00:49

Je viens de penser :

Comme $\ln(1+\frac{1}{u_i})\leq\ln(1+\frac{1}{u_0})$ ,
on a $v_{n+1} \leq v_0 + \bigsum_{i=0}^{n}\frac{1}{2^i}\ln(1+\frac{1}{u_0})$
donc $v_{n+1} \leq v_0 + \ln(1+\frac{1}{u_0}) \bigsum_{i=0}^{n}\frac{1}{2^i}$ .

Maintenant on peut démontrer que $\bigsum_{i=0}^{n}\frac{1}{2^i} = \frac{1-(\frac{1}{2})^{n+1}}{\frac{1}{2}}$ (somme des termes d'une suite géométrique).

On a alors facilement : $\bigsum_{i=0}^{n}\frac{1}{2^i} \leq 2$ .

Donc $v_{n+1} \leq v_0 + 2\ln(1+\frac{1}{u_0})$
Donc évidemment $v_n \leq v_0 + 2\ln(1+\frac{1}{u_0})$ !!!

Et voilà !!!

Posté par Exercice sur les suites réelles 22-02-06 à 20:26

Bonjour à tous j'ai bien avancé dans mon exercice sur les suites réelles mais quelques questions me génent encore, pourriez vous m'aider:
Voici l'énnoncé:
On considére la suite de nombres réelles $(u_n)_{n \in N}$ définie par :

$\begin\{{u_{n+1}=u_n + u_n^2\atop u_0=a, a \in R^*+}$

qui est strictement positive, monotone et qui diverge vers l'infini.
Puis on définit la suite $(v_n)_{n\in \mathbb{N}}$ par:
$v_n = \frac{1}{2^n}ln(u_n)$

qui est majorée, et qui converge ver une limite notée $\alpha$
De plus on a prouvé que :

$\begin(*) 0 < v_{n+k+1} - v_n \le \frac{1}{2^n}ln(1+\frac{1}{u_n}) \\$
et que :
$\begin0 < v_{n+p+1} - v_{n+p} \le \frac{1}{2^{n+p+1}}ln(1+\frac{1}{u_n})$

Il me faut maintenant montrer que $\forall n \in N, u_n \le exp(\alpha2^n)$
Puis en passant à la limite pour n fixé dans $(*)$ , montrer que
$\forall n \in N, exp(\alpha2^n) \le u_n + 1$
Et enfin en déduire que, lorsque n tend vers l'infini $u_n$ est équivalent à $exp(\alpha2^n)$ (désolé je ne sais pas faire le symbole équivalent en "Latex" ...)

Encore merci de votre aide.
A trés bientôt.

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