Bonjour,
Je poste ce petit message car j'ai un petit blocage... En effet, j'ai un dm et j'ai réussi toutes les questions sauf une ne voyant pas vraiment la méthode.
L'énoncé de la question est le suivant:
Démontrons par récurrence que tout tout n de N, bn=-31+(12*2**n)+(20*(1/2)**n)
Nous avons d'après l'énoncé les suites an et bn tel que ao=0 et bo=1
Et an+1=(1/2)*an+5
bn+1=3an+(2bn)+1
De plus d'après les questions d'avant, j'ai trouvé que an=(-10*(1/2)**(n-1))+10
Serait-il possible d'avoir un petit coup de pouce car la rédaction et l'application n'est pas un problème en soit mais je ne sais pas vraiment comment démarrer
Merci beaucoup à tout ceux qui essaieront!
Bonjour
c'est quoi toutes ces étoiles ? il y a des exposants ? si oui, comme sur une calculatrice...^2 par exemple pour écrire "au carré"
Bonjour malou! L'écriture que j'ai utilisé est l'écriture python mais il est vrai que j'aurai pu utiliser la vôtre!
** ->exposant
salut julie
en l'absence de malou que je salue je prends le relais
ok tu sais faire une démo par récurrence ? si oui mais pas terrible vas y essaie et montre moi
Bonjour!
Alors je sais qu'il y a trois étapes principales
Initialisation: on vérifie si la relation est vraie pour n=o
Hérédité: on suppose que la relation est vraie pour un certain rang n c'est à dire qu'on aura l'hypothèse de récurrence HR
Démonstration: on montre que la relation est vraie au rang n+1
on prend HR et on modifie tous les n en n+1
Pour l'initialisation je ne sais pas si bo=1 suffit pour cette étape
Pour l'hérédité, HR serait le résultat donné c'est à dire bn=-31+12*2^n+20*(1/2)^n?
Et pour la démonstration: remplacer les n en n+1 suffirait?
ok comme on te dit pour tout n de N tu peux commencer pour n=0 oui bien sur
hérédité ok tu as bn= -31+12*2n+20*(1/2)n ça tu DOIS l'utiliser dans ta démo
pour la démo tu dois arriver à bn+1=? oui tu remplaces n par n+1 ça fait?
non tu peux rien réduire là ...enfin en tous cas ça simplifieras rien
par contre tu fois démontrer que bn+1 =quoi?
remplace juste n par n+1
ok voilà à la fin de la démo ce à quoi on doit arriver pour pouvoir déclarer fièrement
"c'est donc vrai pour n+1 et par récurrence vrai pour tout n "
bon maintenant comment arriver à ça
et bien tu pars de l'enoncé
as tu bn+1 qq part ? si oui ...eh bien pars de ça remplaces tout ce que tu peux
Ah oui j'avais calculé an juste avant! Merci
Par contre bn je ne l'ai que d'après la question: je peux quand même l'utiliser ?
oui dans une démo par récurrence tu DOIS utiliser la HR toujours
si tu le fais pas c'est qu'il y a un os
Julie2003, une fiche intéressante pour toi
Le raisonnement par récurrence : principe et exemples rédigés
Alors c'est à cet endroit que je bloquais j'ai beau remplacer an bn etc.. je me retrouve sur des calculs qui ne se simplifient pas comme la grande fraction de tout à l'heure et n'aboutit pas au résultat qu'on aimerait avoir.
J'ai fait:
bn+1=3an+2bn+1
=3((-10*(1/2)^(n-1))+10) + 2 (-31+12*2^n +20* (1/2)^n) +1
Et je trouve encore une fraction assez illogique... Peut être je me suis confondue lors des calculs avec les exposants mais je vois pas vraiment comment faire pour trouver le résultat
Je trouve:
-30*(3*(1/2)^n-1) + (24*(2*2^n)) + 40 * (2*(1/2)^n)-31
Mais en vue du résultat que l'on veut je n'ai pas un peu trop développé, j'aurai dû garder les parties où il y a 12 et 20 idem ou non?
non c'est pas mal
par contre au début si tu as -30 tu n'as plus le *3 et si tu as 24 tu n'as plus le *2
Ok on est pas trop mal ... tu vois il faudrait arriver à regrouper les (1/2)n et n-1
(1/2)n-1= quoi * (1/2)n?
Si tu as du mal avec les puissances n et n-1 prends un exemple (1/2) 2 = quoi * (1/2)3 ?
Bin oui quoi =2
Mais avec les n et n-1 c'est pareil ... quoi = 2. Pas n-1
(1/2)n-1= 2 * (1/2)n Ok?
Donc tu remplaces (1/2)n-1 et tu regroupes les (1/2)n
Ok on compare avec le bn+1 auquel on doit arriver Cf ton message de 18h36
Je t'aide ...le -31 on l'a. Et le reste ?
Hum le truc qui me perturbe un peu c'est qu'on a plus de n+1 dans la formule qu'on a simplifié alors qu'il y en a dans la formule du message de 18h36
On a le -20*(1/2)^n où seul le signe (qui doit être positif) et l'histoire des n+1 manquent
Et pour 24*2^n on pourra le transformer en 12*2^(n+1) non?
Oui bien joué pour le 12*2n+1 par contre effectivement y'a os pour le dernier
Donc si ça t'arrive en ds
Relis l'énoncé et vérifie bien que tu pas gouré dans un signe ou un coefficient
Revérifie que ton an est le bon
et recommence à 0 sans essayer de te souvenir comme si tu découvrais lexo sinon ton cerveau ne va pas voir les erreurs
On en recause demain
Salut, sauf erreur l expression que tu trouve pour an dans l énoncé n est pas exacte, je parle de "an=(-10*(1/2)**(n-1))+10". (Voir l' exposant)
Bonjour!
Malheureusement an est bon je pense car dans l'énoncé juste avant la question j'ai dû démontrer qu'une suite un était une suite géométrique je trouvais donc un= -10*(1/2)^(n-1) (à partir de an+1)
Or on sait que un=an-10
Donc an=un+10 c'est à dire le résultat que j'ai donné (normalement sauf erreur de ma part)
De plus j'ai dû calculer la limite de an après et j'ai trouvé le résultat voulu dans l'énoncé
Je ne sais pas si j'ai étais très claire mais n'hésite pas si tu veux que je détaille plus l'énoncé de base
Pour détailler un peu plus j'ai trouvé que
un+1=an+1-10=(1/2)un (cf valeur de an+1 dans mon premier message)
Donc il s'agit d'une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme uo=ao-10=-10
Donc un=-10*(1/2)^(n-1)
an=un-10
an=(-10*(1/2)^(n-1))+10
Salut
si Un commence pour n=0 donc U0 alors un=-10*(1/2)^(n-1) c'est pas bon
l'exposant c'est n
ce serait n-1 si ta suite Un commençait à U1
Bonjour!
Hum mais c'est une formule de cours
Pour tout n de N
Vn+1=Vn * q (où q est la raison)
D'où Vn=Vo*q^(n-1)
Donc pour que cela marche dans notre cas il faudrait commencé à n=1?
la bonne expression de an c'est an = an=(-10*(1/2)n)+10
car ao = -10.1+10 = 0 ce qui correspond bien au ao de l'enoncé ( ao=0)
Comment tu trouves ce résultat (trouver l'exposant n)?
Le truc c'est que j'ai déjà eu cette partie (pour trouver an) en interro j'ai toujours utilisé cette formule du cours et ça a toujours marché donc je verrai pas pourquoi ça marcherait pas là ça me bloque (désolée ça doit paraître évident pour toi mais pas pour moi )
Bonjour, je ne fais que passer
pour une suite géométrique
à retenir
exemple :
retenir de la même manière pour la formule reliant deux termes d'une suite arithmétique
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