Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Exercice sur les variables aléatoires

Posté par
Delevan 05-12-13 à 15:19

Exercice :

Un bus circule entre 2 villes A, B distantes de 100 kilomètres. On admet que lorsque le bus tombe en panne, la distance de l'endroit de la panne à la ville A suit une loi uniforme sur  l'intervalle [0; 100]. Il y a une station de réparation en A une en B et une autre à mi-distance entre A et B. On suggère qu'il serait plus efficace d'avoir les 3 stations localisées respectivement à 25, 50 et 75 kilomètres. Êtes-vous de cet avis ? Pourquoi ?

Fait avec le prof :

1ère situation : X(ω) = distance de ω à la station la plus proche.
2ème situation : Y(ω) = distance de ω à la station la plus proche.
On cherche à savoir E(X) et E(Y), le but étant de comparer E(X) et E(Y).

On a :
E(X)= \int_{\text{-}\infty}^{\infty } t.f(t) dt
F(t)=P(X≤t)
f(t)=F'(t)
On cherche donc P(X≤t) et P(Y≤t).

Et c'est à ce moment que je bloque. J'ai bien compris le raisonnement du prof qui l'a mené jusqu'ici mais je ne vois pas du tout comment déterminer t (ce qui permettra ensuite de déterminer F(t) puis f(t) et enfin E(X))
Si quelqu'un pouvait me donner quelques pistes, merci d'avance.

Posté par
verdurinre : Exercice sur les variables aléatoires 05-12-13 à 15:45

Bonjour,

t désigne ici la distance à la station la plus proche.
Par exemple avec la première répartition on a P(X25)=1 ; P(X10)=0,4 etc...
On cherche à exprimé cette fonction.

Posté par
carpediemre : Exercice sur les variables aléatoires 05-12-13 à 16:37

salut

le problème est imprécis :: quel est le critère d'efficacité ?

verdurin :: P(X =< 25) = 1 ....


je suppose que le critère est de parcourir une distance minimale du lieu de panne du bus à la station de réparation ...

en notant S, T, U les station de réparation en A, au milieu et en B

quelle est la probabilité de se rendre en S ? en T ? en U ?

quelle est la distance parcourue ? puis son espérance ....

puis idem dans la deuxième situation ...

ce me semble-t-il ...

Posté par
verdurinre : Exercice sur les variables aléatoires 05-12-13 à 16:42

Salut Carpediem.

Citation :
1ère situation : X(ω) = distance de ω à la station la plus proche.

avec une station tous les 50 km on ne peut pas être à plus de 25 km d'une station, me semble-t-il.

Posté par
carpediemre : Exercice sur les variables aléatoires 05-12-13 à 17:25

ha yes ... bien sur ...

Posté par
veledare : Exercice sur les variables aléatoires 05-12-13 à 17:52

bonjour
>>Delevan

dans le premier cas X(\Omega]=[0;25]

A________|(25)_______S(50)_______|'(75)________B(100)
      (1)      (2)          (3)           (4)
(1)=[0;25]
(2)=|25;50]
(3)=[50;75]
(4)=[75;100]
  
si Z représente la distance du bus à A au moment de la panne essaies d'exprimer F(t)=P(Xt)  à l'aide de la fonction de répartition de Z que tu connais
(X\le t)=\cup_{i=1}^4(X\le t)\cap (Z \in (i)}

Posté par
Delevanre : Exercice sur les variables aléatoires 06-12-13 à 14:02

Tout d'abord, merci à vous.
J'ai tout d'abord essayé selon ce qu'a dit verdurin.
Cela me donne :

1er cas :

P(X25) = 1

P(X10) = 0,4

P(Xt) = \frac{t}{25}

D'où : F(t) = \frac{t}{25}
f(t) = \frac{1}{25}

Donc :
\int_{-\infty}^{\infty} t.f(t) dt = \int_0^{25} \frac{t}{25} dt = ${[\frac{t²}{50}]}_0$$^{25}$ = F(25)-F(0) = F(25) = \frac{25²}{50} = 12\SIdecimalsign{,}5

2ème cas :

P(Xt) = \frac{t}{12\SIdecimalsign{,}5}

D'où : F(t) = \frac{t}{12\SIdecimalsign{,}5}
f(t) = \frac{1}{12\SIdecimalsign{,}5}

Donc :
\int_{-\infty}^{\infty} t.f(t) dt = \int_0^{12\SIdecimalsign{,}5} \frac{t}{12\SIdecimalsign{,}5} dt = ${[\frac{t²}{25}]}_0$$^{12\SIdecimalsign{,}5}$ = F(12\SIdecimalsign{,}5)-F(0) = F(12\SIdecimalsign{,}5) = \frac{12\SIdecimalsign{,}5²}{25} = 6\SIdecimalsign{,}25

Est-ce que cela vous semble bon ?

Posté par
verdurinre : Exercice sur les variables aléatoires 06-12-13 à 15:13

Bonjour,
le deuxième cas est faux.
Voici un graphique montrant la distance à une station en fonction de la position sur AB
Exercice sur les variables aléatoires
les stations sont les petit rectangles noirs.

Posté par
veledare : Exercice sur les variables aléatoires 06-12-13 à 18:06

je suis d'accord avec verdurin
dans le second cas  que vaut X()? ce n'est pas [0, 12,5],la panne peut avoir lieu à plus de 12,5km d'une station

Posté par
Delevanre : Exercice sur les variables aléatoires 08-12-13 à 14:04

Là par contre, je dois avouer que je  bloque.
J'ai essayé de faire pas mal de choses assez étranges, du genre :
\frac{1}{2}\int_0^{25} t.f(t) dt (du premier cas)+\int_0^{12{,}5} t.f(t) (du second cas) dt
Et d'autres, mais je n'arrive pas à vraiment trouver comment résoudre ce cas. J'ai essayé en mettant f(t)=25-t pour l'intervalle [0;25] et f(t)=75+t pour l'intervalle [75;100] et en faisant l'intégrale, mais je retombe sur ds résultats beaucoup trop élevés...

Posté par
Delevanre : Exercice sur les variables aléatoires 08-12-13 à 14:08

Et \frac{1}{2} pour la deuxième intégrale, je l'avais oublié.

Posté par
carpediemre : Exercice sur les variables aléatoires 08-12-13 à 16:58

quelle est la question ?

Posté par
Delevanre : Exercice sur les variables aléatoires 08-12-13 à 19:16

On cherche P(Xt) pour le deuxième cas, celui où les stations sont situées à 25, 50, et 75 km.

Posté par
Delevanre : Exercice sur les variables aléatoires 08-12-13 à 20:48

Après discussion avec quelqu'un de ma classe, on est arrivé on-ne-sait-comment à E(X)-E(Y) pour le deuxième cas (donc en faisant la différence entre l'intégrale du premier cas et celle que j'avais trouvée pour le deuxième cas). Sommes-nous sur la bonne voie ?

Posté par
veledare : Exercice sur les variables aléatoires 08-12-13 à 22:31

Y()=[0;25]
*si  la panne a lieu entre le km 0 et le km 12,5 la distance  à la station la plus proche  est comprise entre 12,5 et 25km
* il en est de même si la panne a lieu  entre le km 82,5 et le km 100
*dans les autres cas  la distance à la station la plus proche est 12,5 km
il faut donner l'expression de la fonction de répartition sur[0, 12,5] et sur [12,5  ,25]


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !