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Exercice sur min{x,y} et max{x,y}

Posté par
crow 03-09-14 à 20:29

Bonjour,

je n'arrive pas à comprendre l'énoncé et la manière de résoudre cet exercice.

Soient x,y appartiennent à R. Déterminer une expression de max{x,y} et min{x,y} en fonction de x, y et |x-y|.

Je ne sais pas comment travailler avec les min et les max, pouvez-vous m'aider? Merci.

Posté par
Watarure : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 20:43

Salut,

Si x > y alors max(x,y) = x
Si y > x alors max(x,y) = y

Il faut donc que tu réussisses à écrire une expression qui vaut x si x > y et y si y>x

Posté par
Watarure : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 20:44

Petit précision, c'est assez simple comme expression, mais faut avoir de l'idée et se lâcher un peu.
Fais des essais, réfléchis bien et tu devrais tomber sur une piste valable assez rapidement ^_^

Posté par
crowre : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 20:56

Je ne comprends pas bien ce principe.

Si x<y, et que donc max(x,y)=y et min(x,y)=x, dans ce cas là n'importe quel expression où y-x est positif est juste non?

Je n'ai jamais fait d'exercice de ce genre, donc je ne comprends pas du tout comment ça fonctionne.

Posté par
Watarure : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 21:01

Et t'en fera sans doute jamais, ça doit être le deuxième exo du genre que je dois voir dans ma vie °^°

Le truc c'est que c'est très facile de définir max(x,y) et min(x,y) en séparant les cas.
La question qu'on te pose c'est :

"On prend x et y. On sait pas qui est le plus grand entre x et y.
On veut une formule pour nous donner le max et le min."

On peut réfléchir en distinguant les cas dans un premier temps, mais au final faudra une formule qui marche que x soit plus grand que y ou inversement.

Tu sais quoi, le plus simple c'est que je te montre le max qu'on doit trouver et tu feras le mi, ça te va ? ^^

Posté par
crowre : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 21:05

Oui s'il te plait, un début de réponse m'aidera peut être à trouver la suite et comprendre la méthode, parce que pour l'instant je ne vois pas de solution.

Posté par
Watarure : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 21:07

Bon la première réponse est :

max(x,y) = (x + y + |x - y|)/2

En effet, si x > y on a max(x,y) = x et (x + y + |x - y|)/2 = (x + y + x - y)/2 = x
Et si y > x on a max(x,y) = y et (x + y + |x - y|)/2 = (x + y + y - x)/2 = y

Compris ? ^^

Posté par
crowre : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 21:19

Alors, est-ce que ça signifie que le min est:

min(x,y)= (x+y-|x-y|)/2

Si x > y, alors min(x,y) = (x+y-|x-y|)/2 = (x+y-x+y)/2 = y
Et si y > x, alors min(x,y) = (x+y-|x-y|)/2 = (x+y-y+x)/2 = x

C'est ça?

Posté par
Watarure : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 21:21

Yep.

Tu veux que je t'explique comment je suis arrivé à la première formule ou tu penses avoir piger la démarche ? ^_^

Posté par
crowre : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 21:23

J'aimerais bien oui, pour comprendre d'où viennent les formules s'il te plait.

Posté par
Watarure : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 21:26

En fait c'est assez simple.

J'étais partit sur le fait que |x-y| ça valait x - y ou y - x selon les cas.
Dans le cas x > y, ça vaut x - y, pour me débarrasser de y le seul moyen que j'ai vu c'est d'ajouter y donc je suis arrivé à la formule : y + x - y
Dans le cas y > x, ça vaut y - x, pour me débarrasser de x le seul moyen c'est d'ajouter x donc je suis arrivé à la formule : x + y - x

J'ai comparé mes deux formules et j'ai vu que ça collait pas, mais de peu. En les regardant j'ai eu l'idée de faire x + y + |x - y| pour me débarrasser du x ou du y suivant les cas, en testant j'ai alors vu qu'on obtenait soit 2x, soit 2y. J'avais donc plus qu'à diviser par 2 pour obtenir le formule que je t'ai montré.

Il faut juste réfléchir un peu =P

Posté par
crowre : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 21:31

Donc il suffisait juste de tester différentes formules pour trouver quelque chose qui colle. Cet exercice est assez bizarre :p

En tout cas merci pour ta réponse et pour ton aide.

Posté par
Watarure : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 21:33

Bah c'est un exercice de maths, y a pas une recette à utiliser que je connais par coeur, j'ai avancé à tâtons, j'ai utilisé mon intuition et ma petite expérience des maths pour arriver à un résultat qui marche ^_^

Faudra t'y faire, c'est comme ça que ça marche les maths

Bonne soirée à toi.

Posté par
Razesre : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 23:38

Tu peux aussi chercher la solution sous forme linéaire : min(x,y)=ax+by+c\left | x-y \right |

Traiter les cas x\geqslant y et x\leqslant y

Pour max(x,y) faire la même chose

Posté par
Razesre : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 03-09-14 à 23:46

Indication:

min(x,y)=ax+by+c\left | x-y \right |=min(y,x) donc a=b
x\geqslant y que peut on conclure pour a,b,c ?

x\leqslant y que peut on conclure pour a,b,c ?

Posté par
arimare : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 04-09-14 à 02:29

Bonjour,
ça semble non pertinent mais c'est un résultat pratique.

Par exemple si f et g sont continue alors max(f,g) l'est aussi.

Cela dit sans être difficile, c'est plutôt pas évident de trouver la réponse sans indication...

Posté par
Razesre : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 04-09-14 à 03:39

La question est :

Citation :
Déterminer une expression de max{x,y} et min{x,y} en fonction de x, y et |x-y|.


Cas de min(x,y)
Ce que j'avais proposé est une expression linéaire:
Citation :
Indication:
min(x,y)=ax+by+c\left | x-y \right |=min(y,x) donc a=b
x\geqslant y que peut on conclure pour a,b,c ?

x\leqslant y que peut on conclure pour a,b,c ?


Comme je l'avais expliqué :

\left\{\begin{matrix}min(x,y)=min(y,x)\\ \forall x,y \in \mathbb{R}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}ax+by+c\left | x-y \right |=ay+bx+c\left | y-x \right |\\ \forall x,y \in \mathbb{R}\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b

Pour x\geqslant y Donc min(x,y)=y Ce qui entraine  \left\{\begin{matrix}ax+ay+c(x-y)=y\\ \forall x,y \in \mathbb{R} \land x\geqslant y\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+c=0\\ a-c=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{2}\\ c=-\frac{1}{2} \end{matrix}\right.

D'où:
min(x,y)=\frac{1}{2} (x+y-\left | x-y \right |)

Cas de max(x,y)
Nous procédons de la même façon.
max(x,y)=ax+by+c\left | x-y \right |=max(y,x) donc a=b

Pour x\geqslant y Donc max(x,y)=x Ce qui entraine  \left\{\begin{matrix}ax+ay+c(x-y)=x\\ \forall x,y \in \mathbb{R} \land x\geqslant y\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+c=1\\ a-c=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.
D'où:
max(x,y)=\frac{1}{2} (x+y+\left | x-y \right |)

CQFD

Posté par
alainpaulre : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 04-09-14 à 14:51

Bonjour,


"max(x,y)=\frac{1}{2}%20(x+y+\left%20|%20x-y%20\right%20|)"

La représentation sur l'axe des réels (centrage/décalage)peut suggérer
une autre manière d'amener les formules:
max(v,-v)=|v| ,max(x,y)=u+max(x-u,y-u)

Reste à poser :x-u=-(y-u).
Itou pour min,

Alain

Posté par
lafol Moderateurre : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 04-09-14 à 17:48

Bonjour

graphiquement c'est presque évident :

Exercice sur min{x,y} et max{x,y}

min(x,y) = \dfrac{x+y}{2}-\dfrac{|x-y|}{2}, max(x,y) = \dfrac{x+y}{2}+\dfrac{|x-y|}{2} se lisent sur le dessin, ça aide souvent, de faire un dessin...

Posté par
alainpaulre : Exercice sur min{x,y} et max{x,y} 05-09-14 à 14:40

Bonjour,


Nos solutions sont très voisines.

Nous pouvons considérer la partition d'un nombre z en somme de deux réels quelconques:
z=(z-u)+u=max(z-u,u)+min(z-u,u) \\
Ou en trois réels:
z=(z-u-v)+u +(v)        (1)
z=v+max(z-u-v,u)+min(z-u-v,u)(2)



Alain


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