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Exercice sur un produit de matrice nul

Posté par
ZiYun 13-06-19 à 03:18

Bonsoir,

Je sèche sur l'exercice suivant : soient A, et B deux matrices réelles telles que ABAB=0. A-t-on BABA=0.
Au début je suis sceptique et je veux trouver un contre exemple avec les matrices élémentaires. Mais en prenant A=E_{i,j},B=E_{k,l}, on a ABAB=\delta _{j,k}^{2}E_{i,l}^{2} et BABA=\delta _{l,i}^{2}E_{k,j}^{2}
Donc nécessairement si ABAB=0 alors BABA=0.
Je pense alors à exploiter la relation (AB)2=0 qui donne que AB est nilpotente donc son polynôme caractéristique est \chi _{AB}=X^{n} et donc \chi _{AB}=\chi _{BA}=X^{n}, mais on ne peut pas conclure que (BA)2=0.
À part ce constat, et que Im(BABA) est inclus dans Ker(A) et que Im(A) est inclus dans Ker(BABA) ( et de même pour B et ABAB )  je ne vois pas grand chose.

J'espère que vous pourrez m'aider afin de résoudre cette question.

Merci d'avance,

Posté par
luzakre : Exercice sur un produit de matrice nul 13-06-19 à 09:04

Bonjour !
Tu trouves les bonnes formules et il suffit de les exploiter !

Si p\neq q on a E_{pq}^2=0 ...

Posté par
ZiYunre : Exercice sur un produit de matrice nul 13-06-19 à 15:28

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Mais si nous prenons p\neq q nous aurons BA=0 aussi.
Il faudra faire une somme de matrices élémentaires ?

Merci d'avance,

Posté par
luzakre : Exercice sur un produit de matrice nul 13-06-19 à 17:54

Non ! Je te disais simplement de voir que E_{il}^2=\delta_{li}E_{ii},\;E_{kj}^2=\delta_{jk}E_{kk} dans la relation que tu as calculée.

Posté par
ZiYunre : Exercice sur un produit de matrice nul 13-06-19 à 18:00

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Mais je ne vois toujours pas quoi en faire car on ne peut pas annuler ABAB sans BABA  à cause du premier symbole de Kronecker.

Merci d'avance,

Posté par
luzakre : Exercice sur un produit de matrice nul 13-06-19 à 18:29

Les carrés de symboles de Kronecker sont faciles à calculer donc ta formule permet de montrer que la propriété est valable sur la base canonique des matrices.

MAIS ta méthode n'est pas correcte (je suis désolé de ne pas l'avoir vu plus vite) car (A,B)\mapsto ABAB-BABA n'est pas bilinéaire.

Posté par
ZiYunre : Exercice sur un produit de matrice nul 13-06-19 à 20:13

Bonsoir,

Merci pour votre réponse, j'avais effectivement oublié ce point. Vous aurez une indication à me fournir afin d'avancer dans la question s'il vous plait ?

Merci d'avance,

Posté par
jandri Correcteurre : Exercice sur un produit de matrice nul 14-06-19 à 10:13

Bonjour,
il y a deux cas.

Si n=2 on peut montrer que nécessairement BABA=0.
Il suffit de considérer le cas où les deux matrices A et B sont de rang 1.

Si n\geq3 ce n'est plus vrai : j'ai trouvé un contre-exemple avec A et B sommes de deux matrices élémentaires.

Posté par
ZiYunre : Exercice sur un produit de matrice nul 16-06-19 à 01:11

Bonsoir,

Merci pour votre réponse. Pour n\geq 3 je prends A = E_{1,3} + E_{2,1} et B = E_{3,2} + E_{2,1} et je trouve bien ABAB=0 et BABA\neq 0.
Pour n=2 je n'arrive pas à montrer que si ABAB=0 alors nécessairement BABA=0, vu que le système qui provient de ABAB=0
est trop compliqué à exploiter pour en montrer que BABA=0.

Auriez-vous une méthode plus convenable à me proposer s'il vous plaît ?

Merci d'avance,

Posté par
perroquetre : Exercice sur un produit de matrice nul 16-06-19 à 01:41

Bonjour, ZiYun

Il est facile de montrer que BA est nilpotent.
Donc, en dimension 2:   (BA)^2=0.

Posté par
ZiYunre : Exercice sur un produit de matrice nul 16-06-19 à 02:41

Bonsoir,

Merci pour votre réponse. Je n'y avais pas pensé. Je pense qu'on utilise le polynôme caractéristique pour montrer que BA est nilpotent.

Posté par
perroquetre : Exercice sur un produit de matrice nul 16-06-19 à 11:22

Pour montrer que BA est nilpotent, on peut aussi écrire que:   (BA)^3=B(AB)^2A=0

Posté par
ZiYunre : Exercice sur un produit de matrice nul 16-06-19 à 20:16

Je n'y avais pas pensé. Merci !

Posté par
luzakre : Exercice sur un produit de matrice nul 16-06-19 à 23:20

Assez curieusement, si on prend des matrices de rang 1, la relation se démontre même si n>2.

Soit A=CL,\;B=C'L' \text{ où $L,L'$ sont des matrices ligne, $C,C'$ des matrices colonne.}

Alors ABAB=C(LC')(L'C)(LC')L'=(LC')^2(L'C)\,CL' car les produits LC',\,L'C se comportent comme des scalaires.
De même BABA=(L'C)^2(LC')\,C'L.

Supposons ABAB=0.
Alors,
      soit le scalaire LC' \text{ ou }L'C est nul et BABA=0
      soit le produit CL' est nul ce qui impose C=0 ou L'=0 et on a encore BABA=0.

Posté par
ZiYunre : Exercice sur un produit de matrice nul 17-06-19 à 23:53

Bonjour,

Donc toutes les matrices de rang 1 vérifie (ABAB=0\Leftrightarrow BABA=0). Merci pour ce résultat de plus !

Posté par
luzakre : Exercice sur un produit de matrice nul 18-06-19 à 09:01

Un détail concernant ma démonstration :
Si A,B sont de rang 1 j'aurais dû ajouter que les matrices L,C,L',C' sont toutes non nulles, ce qui fait disparaître le dernier point dans mon "étude de cas".

Dit autrement : j'ai montré la propriété lorsque les matrices sont de rang inférieur à 1.

.............................
A noter que si une des matrices est inversible la propriété est vraie de sorte que
ABAB=0\implies BABA=0 si et seulement si A,B de rang 1 ou \mathrm{rg}(A)\in\{0,n\} ou \mathrm{rg}(B)\in\{0,n\}.

De sorte que c'est bien vrai lorsque n=2.

Posté par
ZiYunre : Exercice sur un produit de matrice nul 18-06-19 à 19:46

Je comprends. Merci pour cette précision.


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