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Exercice Terminale S variations de fonctions composées
Bonjour,
Je suis élève de Terminale S, je sollicite votre aide pour un exercice où je n'arrive pas à résoudre la dernière question.
Voici l'énoncé (je vais mettre directement les réponses aux questions sans toutes les étapes pour ne pas surcharger le message):
L'objectif est de démontrer que, pour tout réel x positif, on a 1+(x/2)-(x²/8)≤√(x+1)≤1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16). Soient f, g et h les fonctions définies sur [0; +∞[ respectivement par f(x)=√(x+1), g(x)=f(x)-1-(x/2)+(x²/8) et h(x)=g(x)-(x^3/16)
Dans l'exercice, on admettra la dérivabilité des fonctions f, g et h et de leurs dérivées successives sur [0; +∞[.
1)a) Calculer f'''(x) puis démontrer que pour tout x≥0, g'''(x)=3/[8(x+1)²(√(x+1))]. Déterminer alors les variations de g" sur [0; +∞[
Ma réponse :
f'''(x)= 3/[8(x+1)²(√(x+1))];
g''(x) est croissante sur [0; +∞[.
b) Calculer g''(0) et déterminer le signe de g''(x ) puis les variations de g' et enfin le signe
de g(x) sur [0; +∞[.
Ma réponse :
g''(0)=0;
g''(x) est strictement positive.
g'(x) est croissante sur [0; +∞[.
g(x) est positive sur [0; +∞[.
2) Déterminer le signe de h(x) sur [0; +∞[.
Ma réponse :
h(x) est négative sur [0; +∞[.
3)Conclure sur la question de départ.
Ma réponse :
J'en conclus que l'on a bien 1+(x/2)-(x²/8)≤√(x+1)≤1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16).
4) Application.
Justifier qu'une calculatrice utilisant 15 chiffres significatifs donnera 1+(a/2)-(a²/8) comme valeur du nombre √(a+1) lorsque le nombre a est inférieur à 2.5*10^-5. Vérifier ce résultat à la calculatrice.
Ma réponse :
C'est là que je bloque, j'arrive déjà difficilement à comprendre la question, et quand je rentre dans la calculatrice la fonction √(x+1) et 1+(x/2)-(x²/8) je trouve que √(x+1)=1+(x/2)-(x²/8) lorsque le nombre aЄ[0; 9.859*10^-4] donc même quand a>2.5*10^-5 on a √(x+1)=1+(x/2)-(x²/8), après j'ai pas compris grand chose.
Y a-t-il quelqu'un qui peut m'éclairer sur cette question ?
Bonne journée à tous,
Spartan.
Bonjour
alors
donc la calculatrice à 15 chiffres significatifs ne tient pas compte de ce nombre car il serait au plus le 16ème chiffre significatif
Merci d'avoir répondu aussi vite.
J'ai essayé d'utiliser ton raisonnement mais j'ai du mal à comprendre comment arriver à :
[(a3)/16]≤ (125/128)*10-15≤ 1*10-15.
Bonjour,
J'étais absent donc je n'ai pas pu répondre.
Merci pour ces explications voici ce que j'obtiens :
Comme 1+(x/2)-(x²/8)≤√(x+1)≤1+(x/2)-(x²/8)+(x^3/16, pourquoi quand a<2.5*10^-5 on a √(a+1)=1+(a/2)-(a²/8) et non pas √(a+1)=1+(a/2)-(a²/8)+(a^3/16) la seul différence entre 1+(a/2)-(a²/8) et 1+(a/2)-(a²/8)+(a^3/16)est l'ajout de (a^3/16) donc :
a<2.5*10^-5
a^3<(2.5)^3*10^-15
(a^3/16)<(15.625/16)*10^-15
et comme 15.625<16 alors(15.625/16)< 1 donc (15.625/16)*10^-15< 1*10^-15
Je peux écrire (a^3/16)<1*10^-15 quand a<2.5*10^-5.
√(a+1)=1+(a/2)-(a²/8) et non pas √(a+1)=1+(a/2)-(a²/8)+(a^3/16) quand a<2.5*10^-5 car la calculatrice ne tient pas compte de (a^3/16) qui dépasse les 15 chiffres significatifs derrière la virgule quand a<2.5*10^-5.
La calculatrice vérifie bien ces résultats.
Merci pour l'aide.
Bonne semaine,
Spartan.
Bonjour,
Je suis moi aussi un élève de terminale S et j'ai ce même exercice à résoudre.
Ce qui me pose problème est la dérivée de f(x).
Je dérive f(x) qui donne f'(x)=1/(2Vx+1), voyez le "V" comme le signe racine carré.
Ensuite f''(x)=(-1*Vx+1)/(2Vx+1)
C'est à partir de là ou je ne suis pas sûr, j'ai vu sur internet que le résultat pouvait être : (-1/4)*((V1+x)/(x+1)^2) mais je n'arrive pas a y parvenir.
Merci de m'aider.
François-Xavier
Bonjour,
Tous les pseudos en vert sont des personnes qui se sont désinscrites du forum.
Cet échange a plus de 6 ans.
Il ne reste aucun des participants...
Mais tu peux relire ce qui a été écrit.
Il y a sans doute des informations intéressantes à en retirer.
Oui, je vois que la question 4 a été traitée minutieusement, mais pas la 3. Il donne seulement la réponse. Je n'arrive pas à ce résultat là, que je sais pourtant correct. Je ne sais pas comment m'y prendre.
MgxSdn, ce que tu fais là est du multipost et c'est interdit !
Devoir Maths
Ben je ne refais pas un post, je réponds à un post déjà existant mais qui apparemment n'est plus actif. Et comme ici on ne répond pas à la question que je cherche, c'est le même exercice mais pas la même question.
Du coup comment je peux faire pour demander de l'aide, si je ne peux pas poster la question que je veux?
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