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exercice topologie
bonjour tout le monde.
donc je trouve du mal avec l'exercice suivant:
on note E l'espace vectoriel normé des fonctions continues su [0,1] dans R
On note I, S et B les parties de E constituées respectivement des fonctions injectives, surjectives et bijectives.
Les parties I, S et B sont elles fermées? ouvertes?
Je pense que B est ouvert ( comme dans le cas de Gln(R)) mais je n'arrive à rien démontrer
Merci pour votre aide.
Bonsoir
Aucune n'est fermée, car la suite (fn) de fonctions continues injectives, surjectives, bijectives fn(x) = xn tend vers une limite non continue, qui n'est pas dans E, donc pas dans I, S ou B.
Oui, effectivement: la limite (simple) n'étant pas continue, la suite fn n'a pas de limite dans E (au sens de la norme infinie).
Non?
oui effectivement (par contraposée) car convergence uniforme==> convergence simple.
mais ceci ne prouve pas le caractère ouvert de ces parties de E?
A mon avis ce ne sont pas des ouverts non plus:
Prends les fonctions
fn: fn (x) = x sur [1/n;1] et 1/n sur [0;1/n] qui n'est pas dans I ni S ni B,
et la fonction e: x--->x sur [0;1] qui est injective surjective bijective.
La norme de la différence des deux est 1/n, donc dans toute boule ouverte autour de e, il y a des fonctions fn. Donc I,S,B ne sont pas des voisinages de chacun de leurs points.
Non?
En fait, pour surjective, il y a un problème: comme ça va de [0;1] dans R et que c'est continu, pas de risque que ce soit surjectif. Bijectif non plus, d'ailleurs...
oui je suis tout a fait d'accord
mais à ton avis, qu'est ce qu'il faudrait ajouter sur l'espace pour que I S B aient une topologie particulière? par exemple si on prend pour E les fonctions continues et monotones de [0,1] dans [0,1]?
quand tu prouve que ce n'est pas fermé
tu dois exposer une suite de fonctions qui converge mais dont la limite n'est pas dans la partie considérée, or quand tu prend la suite x->x^n ça ne marche pas puisque cette suite ne converge pas.
Pour les fermés, je crois bien que tu as raison. Réfléchissons à nouveau...
Mais pour le fait que ce ne sont pas des ouverts, tu es d'accord?
Faudrait savoir c'est de [0,1] dans quoi ? Si c'est dans R, alors S et B sont vides, donc à la fois ouverts et fermés quelle que soit la topologie utilisée. Est-ce vraiment l'énoncé ? Pourquoi pas après tout.
Bonjour à tous
C'est clair que l'exo n'a pas de sens s'il s'agit de fonctions de [0,1] dans R. S et B sont vides, et
I n'est ni ouvert ni fermé. La suite définie par fn(x)=x/n qui est dans I converge uniformément vers la fonction nulle, et la suite définie par gn(x)=x sur [0,1-1/n] et g_n(x)=1-1/n sur [1-1/n,1] est formée de fonctions non injectives et converge uniformément vers g(x)=x qui est injective.
Pour des fonctions continues de [0,1] dans [0,1], ce que je viens d'écrire montre déjà que I est toujours ni fermé ni ouvert.
La suite gn ci-dessus, montre que B et S ne sont pas ouverts.
Soit hn la suite définie par hn(x)=x/n sur [0,1/2] et le truc affine qui réunit 1/2n à 1 sur [1/2,1]. Ca converge uniformément vers la fonction qui vaut 0 sur [0,1/2] et une affine sur [1/2,1], donc B n'est pas fermé.
Peut-être que S est fermé; pour l'instant aucun contrexemple ne me saute aux yeux!
Si on considère [0,1] dans [0,1] ça m'a l'air assez simple de montrer que S est effectivement fermé.
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