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Niveau terminale
Exercice trouvé sur Twitter
Posté par papyarchimede
Bonjour, je me baladais tranquillement sur Twitter quand je suis tombé sur cet exercice :
Soit le plus petit ensemble vérifiant les propriétés suivantes :
-
-pour tout n appartenant aux entiers naturels, si alors
-pour tout n appartenant aux entiers naturels, si ,
.
Déterminer les entiers qui n'appartiennent pas à .
Je suis bloqué :
je suis sûr que et
appartiennent à
, mais je n'arrive pas à aller beaucoup plus loin.
Merci pour votre aide !
(je précise que l'exercice est, d'après l'auteur du tweet, accessible à un élève de terminale )
salut
commence par déterminer les premiers entiers appartenant à E
avec 2 tu as(2 + 5)^2 = 49 puis donc 7
avec 7 tu as (7+ 5)^2 = 144 puis donc 12
détermine 2-3 autres entiers puis regarde et vois ....
Ok, je vois on a quelque chose de régulier 2, 7, 12, 17, 22, 27 ...
avec à chaque fois un ajout de 5.
Comme on avait déterminer 49 précédemment, on pourrait chercher le reste de 49 dans la division euclidienne par 5. Donc on a, .
4 appartiendrait donc à E ?
Ok j'ai encore bloqué 10min (je suis lent)
Si l'on reprend la troisème condition énoncée : (n+5)²
avec n=49 on a
49, 54, 59, 64
64 est un carré parfait, la deuxième condition nous permet d'ôter le carré. donc 64 apparient à E et donc 8 apparient à E.
83(mod 5) donc 3 appartient à E