Bonsoir à tous,

je bloque sur la correction d'un exercice de mon livre, j'ai trouvé un résultat plus fort et je me demande si je ne suis pas allé trop vite en besogne. Je mets juste la première question, le reste ne me pose pas de problèmes particuliers.



Comme le bourrin que je suis, j'ai dit que c'était une suite de Cauchy dans un espace métrique compact qui est donc en particulier complet, elle admet donc une limite qui est sa seule valeur d'adhérence : c'est un connexe (c'est sûrement faux, je ne sais pas, dites moi ). Maintenant la correction :

Si E X et > 0, désignons par l'ensemble des x X tels que d(x,E) . Supposons alors où les Fj sont fermés non vides ; on a d(F1, F2) = 3 (je ne comprends pas d'où sort cette égalité ? je sais que F1 est compact donc la distance entre les deux est forcément positive par la continuité de la distance et donc le fait qu'elle atteigne ses bornes, mais pourquoi le 3 ? est-ce arbitraire ? je n'en vois pas l'intérêt si c'est le cas) avec > 0 ; posons et ; alors d(G1, G2) > 0 (là aussi j'ai un peu de mal à comprendre...) et on peut trouver par récurrence une suite extraite telle que . Mais alors ce qui contredit l'hypothèse.".

Voilà, je vais continuer d'essayer de comprendre mais un peu d'explications serait parfait. Merci d'avance.