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exercices de limite avec moyenne de césaro

Posté par
DLLKEVIN 03-10-17 à 12:01

Bonjour ,
je suis en train d'essayer de faire un exercice sur les suites .
mais je rencontre un problème , il s'agit de Calculer la limites suivante
lim\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}}
quand n tend vers + l'infini

pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

Posté par
Glapion Moderateurre : exercices de limite avec moyenne de césaro 03-10-17 à 12:05

Bonjour tu as toujours la formule de Stirling qui te donne un équivalent de n!

n! \approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n

Posté par
DLLKEVINre : exercices de limite avec moyenne de césaro 03-10-17 à 12:07

possible d'utiliser le lemme de césaro avec ça ?

Posté par
Glapion Moderateurre : exercices de limite avec moyenne de césaro 03-10-17 à 12:11

heu je ne vois vraiment pas . Le lemme de Cesaro c'est "si une suite converge alors la moyenne arithmétique des termes converge aussi vers la même limite"
ici on a pas de somme, comment veux-tu appliquer ça ?

Posté par
DLLKEVINre : exercices de limite avec moyenne de césaro 03-10-17 à 12:15

merci pour l'explication

Posté par
Glapion Moderateurre : exercices de limite avec moyenne de césaro 03-10-17 à 12:19

Pour info, on trouve 4 pour la limite.

Posté par
Schtromphmolre : exercices de limite avec moyenne de césaro 03-10-17 à 12:36

Bonjour,

On peut appliquer le lemme de Cesaro en considérant le logarithme du terme général de la suite.
\ln \sqrt[n]{\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}} = \frac{\sum_{k=1}^{n}{\ln(2k) + \ln(2k-1) - 2\ln(k)}}{n}.
Comme ln(2k-1) \sim ln(2k) on obtient sans peine \lim \; (\ln(2k) + \ln(2k-1) - 2\ln(k)) = 2\ln2.
Donc la limite cherchée est 4.

Posté par
Glapion Moderateurre : exercices de limite avec moyenne de césaro 03-10-17 à 12:46

ha oui bien vu ! je n'avais pas pensé au log, c'est vrai que la racine nième aurait dû m'y faire penser. Plus élégant et plus rapide qu'avec Stirling, bravo Schtromphmol .

Posté par
luzakre : exercices de limite avec moyenne de césaro 03-10-17 à 13:06

Bonjour Schtromphmol !
Juste avec ton équivalent je doute fort que tu arrives à prouver la limite que tu donnes.

Jouons le jeu :
Ton équivalent s'écrit \ln(2k-1)\underset{k \to+\infty }{\quad=\quad}\ln(2k)+o(\ln(2k)) donc
\ln(2k)+\ln(2k-1)-2\ln(2k)\underset{k \to+\infty }{\quad=\quad}o(\ln(2k))
et çà n'a rien à voir avec la limite citée (sauf dire qu'elle n'est pas contredite).

Posté par
Schtromphmolre : exercices de limite avec moyenne de césaro 03-10-17 à 13:21

@luzak

Moi je doute fort que tu aies réussi à lire correctement ce que j'ai écrit (), c'est 2ln(k) le dernier terme, pas 2ln(2k).

Posté par
luzakre : exercices de limite avec moyenne de césaro 03-10-17 à 14:01

Effectivement j'avais lu trop vite mais çà ne change rien car tu auras :

\ln(2k)+\ln(2k-1)-2\ln(k)\underset{k \to+\infty }{\quad=\quad}2\ln(2k)-2\ln(k)+o(\ln(2k))\underset{k \to+\infty }{\quad=\quad}2\ln(2)+o(\ln(2k)
et le dernier o(\ln(2k)) n' a aucune raison d'avoir une limite nulle.

Je pense que la manière correcte ce serait d'écrire :
\ln(2k-1)=\ln(2k)+\ln(1-\frac1{2k})\underset{k \to+\infty }{\quad=\quad}\ln(2k)-\dfrac1{2k}+o(k^{-1}) ou même  \ln(2k-1)=\ln(2k)+\ln(1-\frac1{2k})\underset{k \to+\infty }{\quad=\quad}\ln(2k)+o(1)
ce qui donnerait enfin

\ln(2k)+\ln(2k-1)-2\ln(k)\underset{k \to+\infty }{\quad=\quad}2\ln(2k)-2\ln(k)+o(1)\underset{k \to+\infty }{\quad=\quad}2\ln(2)+o(1).

...........................................
Je pense que toi aussi tu as "lu un peu vite - mais dans ta tête" que  \ln(2k-1)\underset{k \to+\infty }{\quad=\quad}\ln(2k)+o(1) (ce qui est exact) mais il ne fallait pas écrire un simple équivalent.

Posté par
Glapion Moderateurre : exercices de limite avec moyenne de césaro 03-10-17 à 15:33

ou simplement ln(2k)+ln(2k-1)-2ln(k) = ln(2k(2k-1))/k²) qui tend de toute évidence vers ln 4 = 2 ln 2

Posté par
Schtromphmolre : exercices de limite avec moyenne de césaro 03-10-17 à 15:55

@luzak

Oui tu as raison, j'ai fait un raccourci douteux, merci.


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