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Exercices de Noël (complexes + exponentielles)
Bonjours, serait-il possible que quelqu'un m'aide car je n'arrive pas à faire cet exercice s'il vous plait:
On pose: a=e^(2.i.Pi/7)
S=a+a²+a^4 et T=a^3+a^5+a^6
Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse en justifiant la réponse:
A) S et T sont conjugués
B) S+T =-1
C) S.T =3
D) La partie imaginaire de S est négative
Je vous remercie d'avance
Bonjour,
Pour A), commence par remplacer a par e^(2i
/7) dans les expressions de S et T. Ensuite tu dois remarquer que e^(12i/7)= e^(-2i/7) tu trouver des expressions similares pour e^10i/7 et e^6i/7 ...
Ok, merci
Donc si j'ai bien compris on fait comme sa?
a = e^(2.i.Pi/7) = cos(2Pi/7) + i.sin(2Pi/7)
a² = e^(4.i.Pi/7) = cos(4Pi/7) + i.sin(4Pi/7)
a³ = e^(6.i.Pi/7) = cos(6Pi/7) + i.sin(6Pi/7)
a^4 = e^(8.i.Pi/7) = cos(8Pi/7) + i.sin(8Pi/7)
a^5 = e^(10.i.Pi/7) = cos(10Pi/7) + i.sin(10Pi/7)
a^6 = e^(12.i.Pi/7) = cos(12Pi/7) + i.sin(12Pi/7)
S = cos(2Pi/7) + i.sin(2Pi/7) + cos(4Pi/7) + i.sin(4Pi/7) + cos(8Pi/7) + i.sin(8Pi/7)
S = cos(2Pi/7) + cos(4Pi/7) + cos(8Pi/7) + i.(sin(2Pi/7) + sin(4i/7) + sin(8Pi/7))
T = cos(6Pi/7) + i.sin(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + i.sin(10Pi/7) + cos(12Pi/7) + i.sin(12Pi/7)
T = cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) + i.(sin(6Pi/7) + sin(10Pi/7) + sin(12Pi/7))
cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) = cos(6Pi/7) - cos(3Pi/7) - cos(5Pi/7)
cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) = cos(6Pi/7) - cos(3Pi/7) + cos(-2Pi/7)
cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) = cos(6Pi/7) - cos(3Pi/7) + cos(2Pi/7)
cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) = -cos(-Pi/7) + cos(-4Pi/7) + cos(2Pi/7)
cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) = -cos(Pi/7) + cos(4Pi/7) + cos(2Pi/7)
cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) = cos(8Pi/7) + cos(4Pi/7) + cos(2Pi/7)
Et donc les parties réelles de S et de T sont égales. (1)
sin(6Pi/7) + sin(10Pi/7) + sin(12Pi/7) = sin(-8Pi/7) + sin(-4Pi/7) + sin(-2Pi/7)
sin(6Pi/7) + sin(10Pi/7) + sin(12Pi/7) = -sin(8Pi/7) - sin(4Pi/7) - sin(2Pi/7)
Et donc les parties Imaginaires de S et de T sont opposées. (2)
(1) et (2) --> S et T sont conjugués.
wouah, tu sais tu n'étais pas obligé de tous développer mais c'est ça oui. tu pouvais écrire tout simplement: e^(10i/7)= e^(-4i/7) e^(6i/7)= e^(-8i/7)
donc S= e^(2i/7)+ e^(4.i./7)+ e^(8.i./7)
T= e^(6.i./7) + e^(10.i./7)+ e^(12.i./7)
T= e^(-8i/7) + e^(-4i/7+ e^(-2i/7)
et tu vois bien qu'ils sont conjugués.
et tu arrives le suite?
Merci
Nan justement c'est la ou je bloque , pour la A j'avais un petite idée car je sais que pour qu'il soit conjugué il fallait les réels égaux et les imaginaires opposés:
z=a+ib son conjugué z'=a-ib
Et pour la suite je ne sais vraiment pas comment faire =$
bon on sait déjà que S et T sont conjugués donc tous les sinus s'en vont quand on les additionne. Il ne reste plus que une expression avec des cosinus. Je sais que c'est vrai et là je cherche pourquoi...
Alors j'ai essayer un truc:
Comme c'est conjugués,
partie réelle de S = partie réelle de T
Or
Partie réelle de S = cos(2Pi/7) + cos(4Pi/7) + cos(8Pi/7) = -1/2
Donc S+T= -1/2+ (-1/2)=-1
C'est juste?
nan mais la partie réel est bien cos(2Pi/7) + cos(4Pi/7) + cos(8Pi/7) donc S+T= 2(cos(2Pi/7) + cos(4Pi/7) + cos(8Pi/7) )
si on fait le cercle trigo on trouve que c'est bien égal à -1 mais la justification par le calcul, je ne la vois pas pour l'instant...
Là j'ai refait mes calculs,
Partie réel de S= cos(2pi/7)+cos(4pi/7)+cos(-6pi/7)=cos(0)
Or cos 0= 1
Donc Réel de S=1
Mince je crois que c'est pour la question de ST
Et on trouverai ST=Réel S + Réel T
Réel S = Réel T
Donc ST=1+1=2
Et ça?
1+S+T est la somme des 7 premiers termes de la suite géométrique de premier terme u et de raison q = u
donc S+T=-1?
euh nan je ne crois pas... je suis sûre qu l'explication est simple mais je ne la vois pas... ça m'arrive souvent
Pas grave tu m'aide déjà beaucoup =D
Autrement tu sais comment faire pour les deux autres questions?
Enfin la dernière je pense avoir trouver.
sin(2Pi/7) + sin(4i/7) + sin(8Pi/7) = sin(2Pi/7) + sin(4i/7) - sin(Pi/7)
Comme sin est croissant dabs [0 ;Pi/2], sin(2Pi/7) > sin(Pi/7)
et donc sin(2Pi/7) - sin(Pi/7) > 0
Comme sin(x) est >= 0 pour x dans [0 ;PI], sin(4i/7) > 0
--> sin(2Pi/7) + sin(4i/7) + sin(8Pi/7) > 0
La partie imaginaire de S est positive.
je vais voir pour la c)mais bien sûr tu as raison!! je ne voyais pas ce que tu voulais dire par suite géométrique et là j'ai relu l'énoncé et c'est bien cette astuce qu'il faut utiliser pour la b) je vais faire les calculs pour voir ce que ça donne
excuse du retard j'étais entrain de rediger une rédaction.
Donc pour le moment on a (Je vais rédiger comme sa).
A/a = e^(2.i.Pi/7) = cos(2Pi/7) + i.sin(2Pi/7)
a² = e^(4.i.Pi/7) = cos(4Pi/7) + i.sin(4Pi/7)
a³ = e^(6.i.Pi/7) = cos(6Pi/7) + i.sin(6Pi/7)
a^4 = e^(8.i.Pi/7) = cos(8Pi/7) + i.sin(8Pi/7)
a^5 = e^(10.i.Pi/7) = cos(10Pi/7) + i.sin(10Pi/7)
a^6 = e^(12.i.Pi/7) = cos(12Pi/7) + i.sin(12Pi/7)
S = cos(2Pi/7) + i.sin(2Pi/7) + cos(4Pi/7) + i.sin(4Pi/7) + cos(8Pi/7) + i.sin(8Pi/7)
S = cos(2Pi/7) + cos(4Pi/7) + cos(8Pi/7) + i.(sin(2Pi/7) + sin(4i/7) + sin(8Pi/7))
T = cos(6Pi/7) + i.sin(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + i.sin(10Pi/7) + cos(12Pi/7) + i.sin(12Pi/7)
T = cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) + i.(sin(6Pi/7) + sin(10Pi/7) + sin(12Pi/7))
cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) = cos(6Pi/7) - cos(3Pi/7) - cos(5Pi/7)
cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) = cos(6Pi/7) - cos(3Pi/7) + cos(-2Pi/7)
cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) = cos(6Pi/7) - cos(3Pi/7) + cos(2Pi/7)
cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) = -cos(-Pi/7) + cos(-4Pi/7) + cos(2Pi/7)
cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) = -cos(Pi/7) + cos(4Pi/7) + cos(2Pi/7)
cos(6Pi/7) + cos(10Pi/7) + cos(12Pi/7) = cos(8Pi/7) + cos(4Pi/7) + cos(2Pi/7)
Et donc les parties réelles de S et de T sont égales. (1)
sin(6Pi/7) + sin(10Pi/7) + sin(12Pi/7) = sin(-8Pi/7) + sin(-4Pi/7) + sin(-2Pi/7)
sin(6Pi/7) + sin(10Pi/7) + sin(12Pi/7) = -sin(8Pi/7) - sin(4Pi/7) - sin(2Pi/7)
Et donc les parties Imaginaires de S et de T sont opposées. (2)
(1) et (2) --> S et T sont conjugués.
Vraie
B/1+S+T est la somme des 7 premiers termes de la suite géométrique de premier terme u et de raison q = u
donc S+T=-1
Donc vraie
C/ Pas trouver
D/
sin(2Pi/7) + sin(4i/7) + sin(8Pi/7) = sin(2Pi/7) + sin(4i/7) - sin(Pi/7)
Comme sin est croissant dabs [0 ;Pi/2], sin(2Pi/7) > sin(Pi/7)
et donc sin(2Pi/7) - sin(Pi/7) > 0
Comme sin(x) est >= 0 pour x dans [0 ;PI], sin(4i/7) > 0
--> sin(2Pi/7) + sin(4i/7) + sin(8Pi/7) > 0
La partie imaginaire de S est positive.
Donc faux
Voila presque fini grâce à ton aide merci
Par contre je ne sais pas si je dois rédiger comme sa ou mettre plus de d'explication (dans le cas B par exemple?)
à mon avis tu ne devrais pas rédiger comme ça por le A ça fait trop compliqué donc je te conseille:
S= e^(2i/7)+ e^(4.i/7)+ e^(8.i./7)
S = cos(2Pi/7) + cos(4Pi/7) + cos(8Pi/7) + i.(sin(2Pi/7) + sin(4i/7) + sin(8Pi/7))
T= e^(6.i./7) + e^(10.i./7)+ e^(12.i./7)
T= e^(-8i/7) + e^(-4i/7+ e^(-2i/7)
S = cos(2Pi/7) + cos(4Pi/7) + cos(8Pi/7) - i.(sin(2Pi/7) + sin(4i/7) + sin(8Pi/7))
POUR LA B: 1+T+S= 1+a+a²+a^3+a^4+a^5+a^6
somme de cette suite géométrique: (1-a^7)/(1-a)=0
donc 1+T+S=0 soit T+S=-1
oki merci
Et pour la C as tu une idée?
J'aurais pensée a ça
S.T = (Partie réelle de S)² + (Partie imaginaire de S)² puisque S et T sont conjugués.
oui c'est ce que je faisais... ah ba ça va t as en fait trouvé les idées principales il ne manque plus que les calculs...
S.T = (-1/2)² + (Partie imaginaire de S)²
S.T = (1/4) + (sin(2Pi/7) + sin(4i/7) + sin(8Pi/7))²
(sin(2Pi/7) + sin(4i/7) + sin(8Pi/7))² = S.T - (1/4)
(sin(2Pi/7) + sin(4i/7) + sin(8Pi/7))² = (4.S.T - 1)/4
sin(2Pi/7) + sin(4i/7) + sin(8Pi/7) = (1/2).V(4.S.T - 1) (Avec V pour racine carrée)
S.T = (u+u²+u^4)*(u^3+u^5+u^6)
S.T = u^4+u^6+u^7 + u^5+u^7+u^8 + u^7+u^9+u^10
Avec u^7 = 1 -->
S.T = u^4+u^6+1 + u^5+1+u + 1+u²+u³
S.T = u^6 + u^5 + u^4 + u³ + u² + u + 3
Or 1+u+u²+u^3+u^4+u^5+u^6 = 0 -->
S.T = 2
ça me parait très compliqué
mais je pense qu'on peut se contenter largement de ça pour la dernièr question:
S.T = u^4+u^6+u^7 + u^5+u^7+u^8 + u^7+u^9+u^10
Avec u^7 = 1 -->
S.T = u^4+u^6+1 + u^5+1+u + 1+u²+u³
S.T = u^6 + u^5 + u^4 + u³ + u² + u + 3
Or 1+u+u²+u^3+u^4+u^5+u^6 = 0 -->
S.T = 2[quote]
OK merci , je prend la rédaction la alors?
S.T = (u+u²+u^4)*(u^3+u^5+u^6)
S.T = u^4+u^6+u^7 + u^5+u^7+u^8 + u^7+u^9+u^10
Avec u^7 = 1 -->
S.T = u^4+u^6+1 + u^5+1+u + 1+u²+u³
S.T = u^6 + u^5 + u^4 + u³ + u² + u + 3
Or 1+u+u²+u^3+u^4+u^5+u^6 = 0 -->
S.T = 2
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