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Niveau terminale
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Exercices éllipses , complexes

Posté par
7MK
21-05-17 à 21:54

Bonjour/Bonsoir tout le monde

Je n'arrive pas à résoudre cet exercice sur les éllipses. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ? Merci

Soit C un cercle de centre O et de rayon R > 1  . A tout point M d'affixe z = Rei T du cercle C , on associe le point M d'affixe 1/z  .
1. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire du milieu de I de [MM']
2. Montrer que I varie sur une ellipse E lorsque M varie sur C .
3. Donner les éléments caractéristiques de E.


1. z' = 1/Rei

zI = (z+z')/2
zI = (1+R²ei2)/ 2 Rei

A partir de là je suis bloqué , je ne sais pas comment trouver la partie réelle et partie imaginaire de zI

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
lake
re : Exercices éllipses , complexes 21-05-17 à 22:03

Bonjour,

z_I=\dfrac{R^2e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2R}

et on remplace e^{i\theta} par \cos\theta +i\,\sin\,\theta

    e^{-i\theta} par \cos\theta -i\,\sin\,\theta

Posté par
philgr22
re : Exercices éllipses , complexes 21-05-17 à 22:03

Bonsoir ,
Multiplie le numerateur et le denominateur par e-i

Posté par
lake
re : Exercices éllipses , complexes 21-05-17 à 22:18

Pour info, avec R>1, on tombe sur:

  \dfrac{x^2}{\left(\dfrac{R^2+1}{2R}\right)^2}+ \dfrac{y^2}{\left(\dfrac{R^2-1}{2R}\right)^2}=1

Posté par
7MK
re : Exercices éllipses , complexes 21-05-17 à 23:08

Merci

Si je ne fais pas d'erreurs , on trouve

zI = (1+R²)cos / 2R  +  (R²-1)sin i / 2R

Et on a donc la partie réelle et la partie imaginaire

2) Lorsque M varie sur C on a : xM = R cos et yM = R sin

xI = (1+R²)cos / 2R cos = 2R  xI / (1+R²)
yI = (R²-1)sin / 2R sin = 2R yI / (R²-1)

On a donc x²I / ((1+R²)/4R²)    +  y²I / ((R²-1)/4R²)   = 1

I varie sur une ellipse E

Posté par
7MK
re : Exercices éllipses , complexes 21-05-17 à 23:11

Ouh excusez moi c'est (R²+1)² et (R²-1)² et non (R²+1) et (R²-1)

Posté par
lake
re : Exercices éllipses , complexes 21-05-17 à 23:11

Oui, manque des carrés autour de R^2+1 et R^2-1

Posté par
7MK
re : Exercices éllipses , complexes 21-05-17 à 23:23

3) E est une ellipse de

_ centre O(0;0)
- de sommets A ( (R²+1/2R) ; 0) , A' ((-1-R²/2R) ; 0) , B (0 ; (R²-1/2R) ) et B' (0 ; (1-R²/2R))
_  de directrice x =[ R²+1/2R]²
_ d'excentricité e = 2R/R²+1

Posté par
lake
re : Exercices éllipses , complexes 22-05-17 à 09:47

Oui, les foyers sont fixes:

Exercices éllipses , complexes

Posté par
7MK
re : Exercices éllipses , complexes 22-05-17 à 17:49

Merci beaucoup       lake  et philgr22              pour votre aide

J'ai compris



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