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Niveau Maths sup
Exercices polynome et division euclidienne par 0
Posté par hugocarpyro
Bonjour, je suis un peu bloqué dans des exercices sur des polynomes et complexes,
P = X2n - n²Xn+1 + 2(n²-1)Xn -n²Xn-1 +1
énoncé :
1) justifier que le reste de la division euclidienne de P par X²-1 est de la forme aX+b
(celui là est facile)
2) déterminer a et b en évaluant la division euclidienne en X=1 et X=-1.
Je ne comprends pas bien comment faire, étant donné que ça ferait une division par 0...
Pour le principe j'ai fais P(1) et P(-1), et les résultats sont :
P(1) = 0
P(-1) = 4n² ou P(-1) = 4(1-n²) (en fonction de la parité de n)
Si vous aviez une explication sur comment avancer ça m'aiderait beaucoup!
Merci ! 
salut
il te suffit d'écrire la division euclidienne formelle :
P(x) = Q(x) (x^2 - 1) + ax + b (1)
(1) est vraie pour tout x donc pour x = 1 et pour x = -1
ce qui te donne un système de deux équations en les deux inconnues a et b et te permet de les déterminer ...
bien sûr P(1) et P(-1) sont eux-mêmes des fonctions de n ...
donc il faut déterminer/exprimer a et b en fonction de n ...
Bonjour, merci pour ça, ce que j'avais fait actuellement me donnait quelque chose comme :
a = -b
si n est pair, a = 4n
si n est impair, a = -4n+4
J'aurais donc 2 solutions :
R(X) = 4nX-4n pour n pair
et R(X) = 4(1-n)X +4(n-1) pour n impair.
Ces solutions sont-elles correctes? :/
hugocarpyro @ 19-11-2020 à 12:52
Bonjour, merci pour la réponse!
Ce que j'avais fait actuellement me donnait quelque chose comme :
a = -b
si n est pair, a = 4n
si n est impair, a = -4n+4
J'aurais donc 2 solutions :
R(X) = 4nX-4n pour n pair
et R(X) = 4(1-n)X +4(n-1) pour n impair.
Ces solutions sont-elles correctes? :/
Bonjour, merci pour la réponse!
Ce que j'avais fait actuellement me donnait quelque chose comme :
a = -b
si n est pair, a = 4n
si n est impair, a = -4n+4
J'aurais donc 2 solutions :
R(X) = 4nX-4n pour n pair
et R(X) = 4(1-n)X +4(n-1) pour n impair.
Ces solutions sont-elles correctes? :/
peut-être ... mais je te fais confiance pour les calculs ...
(il suffit de résoudre proprement le système)
REM : P(-1) n'a qu'une seule expression quelle que soit la parité de n ...
donc P(-1) = ... ?
Merci encore!
Je ne suis pas sur de comprendre ce que vous voulez dire par
"P(-1) n'a qu'une seule expression quelle que soit la parité de n"
L'expression de P(-1) quelle que soit la parité de X est :
P(-1) = 2+(-1)n(4n²-2). Je dois donc m'arrêter là plutôt que de traiter les cas pair et impair?
ben oui ...
tu peux distinguer les deux cas mais ce n'est pas nécessaire !!
(non ce n'est pas x mais n)