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Exercices suites et nombres complexes

Posté par
martizic
07-04-21 à 19:07

Bonjour, pouvez-vous m'aider pour cet exercice de maths expertes svp :

On considère la suite (zn) définie par z0 = 0 et pour tout n ∈ ℕ, zn+1 = i × zn + 2.
1. Déterminer la forme algébrique de z1 et z2.
z1 = i * 0 + 2 = 2
z2 = i * 2 + 2 = 2+ 2i  

2. On considère le nombre complexe zA = 1 + i et la suite (un) définie pour tout n ∈ ℕ par
un = zn - zA.
a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ, un+1 = i × un.


b) Montrer que pour tout n ∈ ℕ, un = (- 1 - i) × i
n
à l'aide d'un raisonnement par récurrence.
c) En déduire l'expression de zn en fonction de n.
d) Déterminer la forme algébrique de z100.

Posté par
carpediem
re : Exercices suites et nombres complexes 07-04-21 à 19:15

salut

et alors ?

u_{n + 1} = ...  ?

Posté par
martizic
re : Exercices suites et nombres complexes 07-04-21 à 20:09

un+1 = i * un = i * (zn -za) = i * (... + 1 + i)

Est ce que c'est quelque chose comme ca?

Posté par
carpediem
re : Exercices suites et nombres complexes 07-04-21 à 20:31

non ...

u_n = ...  ?
 \\ 
 \\ u_{n + 1} = ... ?

Posté par
martizic
re : Exercices suites et nombres complexes 07-04-21 à 20:36

un = zn - zA

un+1 = z1 - zA ?

Posté par
carpediem
re : Exercices suites et nombres complexes 07-04-21 à 20:37

Posté par
martizic
re : Exercices suites et nombres complexes 07-04-21 à 20:46

je suis vraiment pas a fond sur ce chapitre (car on l'a travaille integralement en ligne)...

peux-tu m'aider stp

Posté par
carpediem
re : Exercices suites et nombres complexes 08-04-21 à 11:37

carpediem @ 07-04-2021 à 20:31

non ...

u_n = ...  ?
 \\ 
 \\ u_{n + 1} = ... ?

Posté par
martizic
re : Exercices suites et nombres complexes 08-04-21 à 21:54

Malheureusement je ne trouves pas un+1

Posté par
carpediem
re : Exercices suites et nombres complexes 09-04-21 à 08:12

en notant a l'affixe de A

u_n = z_n - a  donc u_{n + 1} = z_{n + 1} - a = ...

Posté par
martizic
re : Exercices suites et nombres complexes 09-04-21 à 17:39

Okk, je viens de comprendre et de reussir le calcul merci beaucoup.
J'ai reussit a prouver que un+1 = i*un

Le petit b, j'ai reussit a le faire.

Le petit c, je pense avoir reussit mais je ne suis pas sur :
zn = un+za
= (-1 - i) * in + 1+ i
= -in - in+1 + i + 1

Est-ce bon? Est-ce que je peux reduire encore plus?

Posté par
carpediem
re : Exercices suites et nombres complexes 09-04-21 à 17:43

ça m'a l'air correct ...

pour ma part je ne développerai pas mais factoriserai : z_n = (1 + i)(1 - i^n)

Posté par
martizic
re : Exercices suites et nombres complexes 09-04-21 à 19:25

ok merci!

Et ducoup pour la 3) ca donne :

zn = (1 + i) (1 - in)

z100 = (1 + i) (1 - i100)
= (1 + i) (1-1)
= (1 + i) * 0
= 0

Est-ce juste?

Posté par
carpediem
re : Exercices suites et nombres complexes 09-04-21 à 19:38

peux-tu montrer que i^100 = 1 ?

Posté par
martizic
re : Exercices suites et nombres complexes 09-04-21 à 20:20

i100
= i4 * 25
= (i4)25
= (i2 + 2)25
= (i2 * i2)25
= (-1 * -1)25
=125
=1

Posté par
carpediem
re : Exercices suites et nombres complexes 09-04-21 à 20:35

très bien  ... mais tu sais que tu peux écrire "en ligne"  et un peu plus "rapide" :

i^{100} = (i^4)^{25} = ((i^2)^2)^{25} = ((-1)^2)^{25} = 1^{25} = 1



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