Niveau Maths sup

Exercices techniques d'analyse

Posté par
sarb 24-03-24 à 14:24

Bonjour, je joins mes recherches, pouvez vous m'aider sur cet exercice merci beaucoup.

Soit f : [0,1] continue de classe C2.

n:
$S_n = \sum_{k=1}^{n}{f(\frac{k^2}{n})} - nf(0)$

Déterminer la limite de la suite (Sn).

Indication :Mettre en place au voisinage de 0 une majoration du type |f(u) − f(0) − f′(0)u| ≤ Ku^2
et s'en servir en remarquant que
∀k ∈ [[1, n]]; k/n^2≤ 1/n

Ce que j'ai fait:

f est C2 d'ou l'existence de M''= sup|f''|_{[0,1]}
Soit dans k dans [|1, n|]
On applique l'inégalité de Taylor-Lagrange à f à l'ordre 1 entre k/n^2 et 0 :
$|f(\frac{k}{n^2})-f(0)-\frac{k}{n^2}f'(0)| \leq M''(\frac{k}{n^2})^2\frac{1}{2}$
Alors : $|f(\frac{k}{n^2})-f(0)-\frac{1}{n^2}f'(0)| \leq M''^2(\frac{k}{n^2})^2\frac{1}{2} \leq |f(\frac{k}{n^2})-f(0)-\frac{k}{n^2}f'(0)| \leq M''(\frac{k}{n^2})^2\frac{1}{2}$ $et |Sn - \frac{f'(0)}{n} |\leq \sum_{k=1}^{n}{|f(\frac{k}{n^2}) - f(0)-\frac{1}{n^2}f'(0)|}\leq \sum_{k=1}^{n}{\frac{M''}{2n^2}}=\frac{M''}{2n}\rightarrow 0$

Posté par re : Exercices techniques d'analyse 24-03-24 à 16:11

salut

c'est pas très clair ;

sarb @ 24-03-2024 à 14:24

: $S_n = \sum_{k=1}^{n}{f(\frac{k^2}{n})} - nf(0)$

ou n'est-ce pas plutôt $f \left( \dfrac k {n^2} \right)$

2/ le terme $- nf(0)$ est-il dans la somme ou pas ?

3/ pourquoi un M" qui alourdit inutilement le texte au lieu d'un M ?

4/ avec l'indication finir la première suite de majorations par

sarb @ 24-03-2024 à 14:24

$|f(\frac{k}{n^2})-f(0)-\frac{1}{n^2}f'(0)| \leq M''^2(\frac{k}{n^2})^2\frac{1}{2} \leq |f(\frac{k}{n^2})-f(0)-\frac{k}{n^2}f'(0)| \leq M''(\frac{k}{n^2})^2\frac{1}{2} \red \le \dfrac 1 2 M \left( \dfrac 1 n \right)^2$

5/ ensuite il me semble qu'il y a le pb du terme en f'(0) que je ne vois pas ce que tu en fais ...

Posté par re : Exercices techniques d'analyse 24-03-24 à 16:25

en fait la dernière ligne est incompréhensible ...

Posté par re : Exercices techniques d'analyse 24-03-24 à 16:26

pardon avec des fautes : 1/n^2 au lieu de k/n^2 et un M" au carré ....

Posté par re : Exercices techniques d'analyse 24-03-24 à 16:34

il me semble que :

1/ l'inégalité de T-L nous dit qu'il existe M tel que $\left|f\left( \dfrac k {n^2} \right) - f(0) - \dfrac k {n^2} f'(0) \right| \le \dfrac 1 2 M \left( \dfrac k {n^2} \right)^2$

2/ $\left|f\left( \dfrac k {n^2} \right) - f(0) \right| = \left| f\left( \dfrac k {n^2} \right) - f(0) - \dfrac k {n^2} f'(0) + \dfrac k {n^2} f'(0) \right| \le \dfrac 1 2 M \left( \dfrac k {n^2} \right)^2 + \dfrac k {n^2} |f'(0)| \le \dfrac 1 2 M \left( \dfrac 1 n \right)^2 + \dfrac 1 n |f'(0)|$

le pb c'est qu'en sommant ces n égalités pour k variant de 1 à n il va rester f'(0) ...

Posté par re : Exercices techniques d'analyse 24-03-24 à 20:05

Bonsoir, oui merci pardon pour mes erreurs vous avez raison. Quant au -nf(0) je ne sais pas non plus où il se situe exactement mais je le suppose hors de la somme.

Je ne pense pas qu'il faille partir de |f(k/n^2) - f(0)| avec un +- f'(0)k/n^2

Merci de votre aide

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