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Exerice complexes

Posté par
Ma-Ph 25-12-09 à 02:05

Enoncé :
On pose \alpha=e^{\frac{2i\pi}{5}}, A=\alpha+\alpha^{4} et B=\alpha^{2}+\alpha^{3}.
1/Determiner A en fonction de \cos(\frac{2\pi}{5}).

2/Démontrer que 1+\alpha+\alpha^{2}+\alpha^{3}+\alpha^{4}=0
En déduire que A et B snt des solutions indépendantes de l'équation (E):x²+x-1=0

3/Résoudre (E), puis en déduire la valeur de \cos(\frac{2\pi}{5}).
Ensuite calculer \cos(\frac{\pi}{5}) et \sin(\frac{\pi}{5})

4/a.Démontrer que 1+e^{\frac{i\pi}{5}}+e^{\frac{2i\pi}{5}}+e^{\frac{3i\pi}{5}}+e^{\frac{4i\pi}{5}}=\frac{2}{1-e^{\frac{i\pi}{5}}}
b. Calculer :
     4
C=\cos(\frac{k\pi}{5})
     k=0
et
     4
C=\sin(\frac{k\pi}{5})
     k=0

Réponses:

1/On a A=\alpha+\alpha^{4}=e^{\frac{2i\pi}{5}}+e^{\frac{-2i\pi}{5}}=2\cos(\frac{2\pi}{5})
2/1+\alpha+\alpha^{2}+\alpha^{3}+\alpha^{4}= \frac{1-\alpha^{5}}{1-\alpha}}=\frac{1-e^{2i\pi}}{1-\alpha}}=0

A solution de (E) A²+A-1=0
Or A²+A-1=(\alpha+\alpha^{4})<sub>2</sub>+\alpha+\alpha^{4}-1=...=0 Donc A est bien solution de E
Avec la meme démarche on démontrer que B est solution de (E).

3/(E) a pour solution : x1=\frac{\sqrt{5}-1}{2} et x2=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}.
Or A=2\cos(\frac{2\pi}{5}) et B=2\cos(\frac{4\pi}{5})
Après une courte étude de la fonction cos sur [0;frac{/pi}{2}] on peut affirmer que A>B.
On en déduit que A=2\cos(\frac{2\pi}{5})=\frac{\sqrt{5}-1}{2}, soit \cos(\frac{2\pi}{5}) =\frac{\sqrt{5}-1}{4}.

Ensuite on a \cos(\frac{\pi}{5})=\cos(\pi-\frac{\pi}{5})=-\cos(\frac{\pi}{5})=-B=\frac{\sqrt{5}+1}{4} et en appliquant la relation sin²x+cos²x=1 on retombe sur \sin(\frac{\pi}{5})=frac{\sqrt{(10-2\sqrt{5}})}{4}

4/a.Le résultat est immédiat en posant une suite géométrique.
b.Ici il est possible de cette facon :
       4
C=\sum\cos(\frac{k\pi}{5})
       k=0
C=\cos(0)+\cos(\frac{\pi}{5})+\cos(\frac{2\pi}{5})+\cos(\frac{3\pi}{5})+\cos(\frac{4\pi}{5})=\cos(0)+\cos(\frac{\pi}{5})+\cos(\frac{2\pi}{5})+\cos(\frac{\pi-\frac{2\pi}{5}}{5})+\cos(\frac{\pi-\frac{\pi}{5}}{5})=\cos(0)+\cos(\frac{\pi}{5})+\cos(\frac{2\pi}{5})-\cos(\frac{2\pi}{5})-\cos(\frac{\pi}{5})=1

Et appliquer la meme méthode à S.

Mais n'y aurait il pas une méthode plus simple qui réinverstit l'égalité du 4/.a en posant par exemple C=Re(1+e^{\frac{i\pi}{5}}+e^{\frac{2i\pi}{5}}+e^{\frac{3i\pi}{5}}+e^{\frac{4i\pi}{5}})=\frac{2}{1-Re(e^{\frac{i\pi}{5}}})
    

Posté par
tom_dpre : Exerice complexes 25-12-09 à 10:39

Salut,
tout d'abord j'ai une petit doute pour cos(/5)=cos(-/5)

Sinon pour la 4, tu poses c+ic=cos(..)+isin(..)=e^i(..)

Voila pour le début

Posté par
tom_dpre : Exerice complexes 25-12-09 à 10:43

Et j'ai oublier de préciser que ceci tu la calculé en 4)a.
et que ton premier c est égale a la partie réelle i.e 2/(1-cos(/5)) et l'autre c'=2/(1-sin(/5))

Posté par
watikre : Exerice complexes 25-12-09 à 10:50

bonjour

1) et 2) justes
3) racines justes mais d'où tu sorts cos(Pi-Pi/5)=cos(Pi/5) c'est faux.
utilises plutôt la formule : cos(2x)=2cos²(x)-1

4a) remarques simplement que C=Re[1+exp(iPi/5)+..+exp(i4Pi/5)]

de même S=Im[1+exp(iPi/5)+..+exp(i4Pi/5)]

Posté par
Ma-Phre : Exerice complexes 25-12-09 à 20:30

Merci pour vos réponses, pour tom, c'est une faute de frappe c'est pi-4pi/5...
Pour watik j'ai remarqué celà c'est dit mais et après ?Ca ne facilite pas le calcul ...

Posté par
Ma-Phre : Exerice complexes 25-12-09 à 20:35

De meme pour watik

Citation :
utilises plutôt la formule : cos(2x)=2cos²(x)-1
pas besoin d'utiliser cette égalité, c'était une faute de frappe si on pose cos(pi/5)=-cos(4pi/5)le resultat est immédiat !

Posté par
Ma-Phre : Exerice complexes 25-12-09 à 21:22

up

Posté par
tom_dpre : Exerice complexes 25-12-09 à 21:32

oui c'est vrai mais pas vraiment utile........
alors que cos(2pi/5)=cos(2*pi/5)=2cos²(pi/5)-1 d'ou cos(pi/5)=V((cos(2pi/5)+1)/2)

Posté par
Ma-Phre : Exerice complexes 25-12-09 à 21:54

Tom comment fais tu pour calculer les sommes avec la somme des exponetielles, j'ai fait des essais mais je ne vois pas le truc ...

Posté par
tom_dpre : Exerice complexes 25-12-09 à 22:07

Je ne comprend pas trop ta question mais je crois savoir :

e^i(kpi/5)(de 0 à 4)=1+...... celle de la 4)a.

Posté par
tom_dpre : Exerice complexes 25-12-09 à 22:08

j'ai juste remplacé k par 0 puis 1, jusqu'à 4 voilà.

Posté par
Ma-Phre : Exerice complexes 25-12-09 à 22:33

en fait pour calculer C et S, j'ai fait un calcul qui ne réinvestit pas la question 4)a et je veux savoir si il est possible de les calculer avec e^i(kpi/5)(de 0 à 4)...

Posté par
Ma-Phre : Exerice complexes 25-12-09 à 22:34

j'ai essayé mais sa ne donne rien d'encourageant ..

Posté par
tom_dpre : Exerice complexes 25-12-09 à 22:44

Si si ,e^i(kpi/5)(de 0 à 4)...=2/(1-e^(ipi/5))

donc C est la réelle et S la partie imaginaire.

Posté par
Ma-Phre : Exerice complexes 25-12-09 à 22:51

C'est ce que j'ai fait, ce que je veux dire, c'est que je n'ai pas d'idée de calcul...

Posté par
Ma-Phre : Exerice complexes 25-12-09 à 22:58

Bon je laisse tomber, je me limiterai au premier calcul.

Posté par
tom_dpre : Exerice complexes 25-12-09 à 23:11

oui tres bien, c étant la partie reelle alors c=2/(1-cos(pi/5)) et cos(pi/5) tu la déterminer auparavant, de même avec sin...

Posté par
Ma-Phre : Exerice complexes 26-12-09 à 23:48

OUi c'est ce à quoi j'ai pensé mais celà ne donnes pas C=1 ?


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