Bonsoir,

une piste :

Par l'absurde,

Considère que l'ensemble des entiers qui n'admettent pas d'écriture en base b est non vide puis fait la division euclidienne de son plus petit élément par b.

Bonjour Sinistoor.
Je vais te donner une piste : pose la division euclidienne de x par b et déduis en ...

Puis si est non nul, tu poses et tu poses la division euclidienne de par et ainsi de suite ...

Tout d'abord à vous deux pour vos réponses
jsvdb je pense avoir compris ta démarche  

Si on fait la division euclidienne de x par b on obtient: x-bx₁=x₀
ie x₁=(x-x₀)/b
si on fait maintenant x₁ par b on obtient: x₁-bx₂=x₃
Ainsi x₂=(x₁-x₃)/b
et on peut en conclure que
x_n=(x_n-1-x_n+1)/b

MERCI*

salut

une remarque : la division euclidienne étant unique prouver l'existence prouve aussi l'unicité si on le rédige proprement ...

Effectivement, l'idée est là. Alors on va l'écrire proprement
Comme b > 1, la théorème de la division euclidienne nous permet d'écrire ceci :







et donc la suite d'entiers est strictement décroissante.
Par suite il existe un entier n (qui dépend de x et de b) tel que :





Donc en remontant la chaîne, il vient :





On écrira alors en base

Exemple
La base de référence est la base à 10 symboles.
Écrire en base 16 avec les symboles 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F.
2379 = B + 148*16
148 = 4 + 9*16

Donc

  Voila une remarque dangereuse :
"  la division euclidienne étant unique prouver l'existence prouve aussi l'unicité "


On veut démontrer qu'un  certain ensemble  S est un singleton .
Si par un certain procédé je fabrique un  ( seul ) élément s de S  cela n'entraine pas que S ne comporte pas d'autre élément .
Qui dit que par un autre procédé   un copain  ne pourra pas fabriquer un s' de S  qui soit différent de s ?

Il y a aussi quelque chose de dangereux, c'est de sortir les phrases de leur contexte :
Carpediem a dit exactement : la division euclidienne étant unique prouver l'existence prouve aussi l'unicité si on le rédige proprement

Il parle donc de division euclidienne, dont on sait qu'elle est unique. C'est-à-dire que la prémisse est conne et on se sert du résultat d'unicité de la division pour résoudre cet exercice. Bien entendu, cela doit figurer dans un rédaction soignée. Ce qui me fait dire au passage que j'aurai pu apporter un poil de plus de soin à ma rédaction en précisant l'unicité de mes coefficients.
Dans ta remarque, etniopal, la prémisse n'est pas connue et doit être démontrée. Le contexte est donc totalement différent.

Ceci dit, d'une manière générale et hors contexte, tu as raison, l'existence n'entraîne pas l'unicité. Mais ça, tout un chacun le sait bien ...

Ok super! Merci à tous d'avoir donné de votre temps

En fait j'aurais du dire que   l'expression  " la division euclidienne est unique "  n'a guère d'utilité sinon de faire remarquer qu'il n'y a qu'un procédé appelé "  division euclidienne " .

Ce qui ne montre en aucune façon la véracité de  l'affirmaion
"  quels  que soient  b entier > 1 et  x   il existe une seule suite n u_n {{0 , b -1}}  , nulle à partir d'un certain rang  et telle que x = _n u_n bⁿ   " .

Certes, mais mais dans la mesure où l'énoncé initial est très précis sur les conditions que doit vérifier la suite : 0 ≤ x_i<b, 1 ≤ i ≤ n et x_n ≠ 0, alors la division euclidienne est le bon outil.
Après, on est libre de vouloir s'en servir ou de réinventer la poudre !

Je ne  vois pas pourquoi tu m'accuses de  réinventer la poudre et bien sûr que " la division euclidienne " s'impose !

etniopal a évidemment raison : trouver une solution ne prouve pas qu'elle est unique

mais je ne  suis pas d'accord avec la suite ... (de son propos)

il y a une infinité de divisions d'un entier x par un entier b 1

si x = bq + p est vraie alors il en est de même de l'égalité x = b(q + k) + p - kb pour tout entier k

et chaque intervalle [nb, (n + 1)b[ contient un unique reste

et on appelle division euclidienne l'unique division dont le reste est dans l'intervalle [0, b[

donc la division euclidienne est l'unique division telle que 0 x - b(q + k) < b (avec b > 1)

or l'énoncé impose cette condition

x_0 est donc unique et s'obtient avec la division euclidienne
puis x_1 est unique et ...
...