Niveau maths spé

Existence d'intégrale

Posté par
Lore23 19-10-23 à 21:28

Bonsoir à tous,

J'ai un doute quant à un exercice pour conclure.

Je dois étudier l'exercice suivant :

Soit $\alpha > 0$ un réel. Nature de $\displaystyle \int_{1}^{+\infty}\ln \left(1 + \frac{\sin t}{t^\alpha} \right) \text{d}t$ ?

Je note donc $f$ l'intégrande et je fais un DL à l'ordre 2 en $+ \infty$ de sorte que $f(x) = \frac{\sin x}{x^\alpha} \underbrace{ - \frac{1}{2}\frac{\sin ^2 (x)}{x^{2\alpha}} + o \left(\frac{\sin ^2 (x)}{x^{2\alpha}}\right)}_{ = g(x)}$

Sachant que la première partie du DL se fait bien par IPP, on montre que ça converge mais j'ai un doute quant à $g$ .

Est-ce que je peux dire que $g(x) \sim - \frac{1}{2}\frac{\sin ^2 (x)}{x^{2\alpha}} = O\left(\frac{1}{t^{2\alpha}} \right)$ et conclure par Riemann ou suis-je obligé de décomposer avec des formules de trigos le $\sin ^2$ pour me retaper une IPP sur un $\cos$ et conclure quant à une condition sur $\alpha$ (éprouvant)?

Posté par re : Existence d'intégrale 20-10-23 à 08:49

Bonjour !
Ils sont forts les "première" maintenant !

En utilisant le "grand O" tu ne peux conclure que si $2\alpha>1$ ...
Mais au lieu de majorer (ton grand O) je verrais plutôt un équivalent (qui est positif au voisinage de $+\infty$ ) et étudier l'intégrale de $\dfrac{\sin^2 x}{x^{2\alpha}}$ (en écrivant $2\sin^2x=1-\cos(2x)$ tu obtiens plus rapidement le résultat sans intégration par parties)

Posté par re : Existence d'intégrale 20-10-23 à 10:20

Je croyais que maths spé signifiait 2eme année de prépa 😅. Ok pour la méthode avec le cos, en fait je ne peux conclure avec le grand O que dans le cas spécifique de alpha>1/2 si j'ai bien compris? Si alpha<1/2 je ne peux rien dire du coup et je suis obligé de passer par l'intégrabilité de cos^2?

Posté par re : Existence d'intégrale 21-10-23 à 09:19

Tu devrais rectifier ton profil sur le site.

L'étude de $\dfrac{\cos^2 x}{x^{2\alpha}}$ est aussi compliquée que celle où il y a $\sin^2$ .
Je t'ai proposé d'introduire $\cos(2x)$ ce qui rend les calculs plus faciles (ce sont les mêmes que tu prétends avoir fait pour $\dfrac{\sin x}{x^{\alpha}}$ ) et tu pourrais même faire les deux en même temps par l'étude de l'intégrale de $x\mapsto \dfrac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}x}}{x^a},\;a\geq 0$

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