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Existence d'un élement minimal
Bonjour,
Je n'arrive pas à démontrer le théorème qui postule que si E est un ensemble ordonné fini, alors E admet un élément minimal.
J'ai par ailleurs deux questions sur ce théorème :
i) Est-ce qu'il y a besoin d'avoir une relation d'ordre totale ou partielle suffit pour ce résultat ?
ii) A-t-on le même résultat pour donner l'existence d'un élément maximal ?
Merci d'avance.
salut
que penses-tu de la relation d'ordre suivante dans :
on dit que a est inférieur à b si a divise b
tu peux vérifier que c'est une relation d'ordre (partiel, total ?) et te poser la question d'un élément minimal ...
ensuite pour répondre encore tu peux aussi considérer l'ensemble E des entiers de 2 à 100 ou de 1 à 100 avec la même relation d'ordre
La relation divise est bien une relation d'ordre partielle ( exemple avec 2 et 5 par exemple ) et dans le cas des entiers naturels supérieurs ou égale à 2 tous les entiers premiers semblent vérifier la définition d'élément minimal.
Maintenant ma question principale était surtout de l'aide pour la démonstration, j'étais parti sur une démo par l'absurde mais je n'arrive pas à aller plus loin
quelle est la définition d'un élément minimal ?
pour tout élément a de E il y a deux cas :
a/ il existe un élément b de E tel que (et
)
b/ il n'existe pas de tel b
si a/ est vrai pour tout élément de E quel est le pb ?
On dit que est un élément minimal de
s'il n'existe pas de
tel que
. Si
n'a pas d'élément minimal on a votre proposition a pour tout les éléments de E et dans ce cas je peux construire une chaîne infinie par itération de cette propriété sur le plus petit élément de la chaîne ce qui est contradictoire avec l'hypothèse comme quoi l'ensemble était fini.
Merci pour votre aide précieuse, j'essaye de récupérer les parties du programme de math de classe préparatoire mp qui sont absentes de celui de pc !
Par contre je ne vois pas où est ce qu'il y aurait un problème pour remplacer minimal par maximal dans ce raisonnement...
Bonjour,
J'ai l'impression que carpediem a embrouillé les choses. Je soupçonne qu'il a confondu élément minimal et plus petit élément.
Atepadene, ton raisonnement avec la construction d'une chaîne infinie descendante si l'ensemble ordonné n'a pas d'élément minimal est tout à fait correcte. Et il est tout à fait vrai que s'il n'y a pas d'élément maximal (à ne pas confondre avec plus grand élément), on peut construire une chaîne infinie montante, ce qui ne peut exister dans un ensemble ordonné fini.
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