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existence d un réel U
bonsoir l'île!
je bloque sur une petite question, j'espère que quelqu'un pourra m'indiquer une méthode pour déterminer ce réel U:
montrer l'existence d'un réel strictement positif U tel que
pour tout u appartenant à R+ u>=U implique e^(-u) <= 1/(u^(x+2))
j'ai essayé de poser une fonction définie par g(u) = e^(-u) - 1/(u^(x+2)) et je voulais montrer qu'à partir d'une certaine valeur la fonction était négative mais malheureusement la fonction est difficile à étudier pusqu'il y a du u et du e^u ... ce qui pose problème
Merci d'avance pour votre aide
Melle Papillon
Bonjour mellepapillon;
(*)Je suppose que est un réel fixé.
Je dis alors que (résultat bien connu)
En particulier tel que
salut,
si cela peut t'aider 1/(u^(x+2))= exp( -(x+2)ln(u))
e^(-u) <= 1/(u^(x+2)) revient à chercher -u <= -(x+2)ln(u)
ou u >= (x+2)ln(u) => 1/(x+2) >= lnu/u
K.
d'accord merci bien, pour la deuxième réponse j'avais aussi pas mal joué avec les relations e et ln mais la réponse de elhor est peut etre plus directe, je crois qu'avec tout ça je vais m'en sortir
merci à vous deux, passez une belle soirée
Melle Papillon
Rebonjour,
je pensais m'en sortir pour la question suivante mais je vous avoue quelle m'échappe:
je dois en déduire que pour tout entier naturel non nul n ( n>= U) on a :
Fn(x) <= intégrale de 0 à U de e^-u .u^x du + 1/U
avec Fn(x) = intégrale de o à n de (1- u/n)^n . u^x du
j'ai essayé d'utiliser la relation de chasles mais ça ne mène à rien , et d'autre part je n'arrive par à voir la relation entre le 1/ u^(x+2) et Fn(x) ...
Merci d'avance pour votre aide
Melle Papillon
Salut Melle Papillon ...
Montre que (1 - u/n)^n <= e^(-u) en utilisant l'inégalité ln(1+x)<=x pour tout x de ]-1; +infini[, puis essaie d'utiliser Chasles ...
Matouille2b
donc après avoir montrer que (1 - u/n)^n <= e^(-u) j'utilise la relation de Chasles
intégrale de o à n de (1- u/n)^n . u^x du <= intégrale de o à n de e^(-u) . u^x du
or
intégrale de o à n de e^(-u) . u^x du = intégrale de o à U de e^(-u) . u^x du + intégrale de U à n de e^(-u) . u^x du
il reste à montrer que
intégrale de U à n de e^(-u) . u^x du <= 1/U
je suppose que là je dois utiliser la relation montrer au début de la question soit pour tout u appartenant à R+
u>=U implique e^(-u) <= 1/(u^(x+2))
donc intégrale de U à n de e^(-u) . u^x du <= intégrale de U à n de 1/u² du= [-1/u] de U à n = -1/U+1/n
puis-je le majorer par 1/U ?
Merci d'avance
mellepapillon ... Regarde tu t'es trompée dans ta dernière ligne ..
donc intégrale de U à n de e^(-u) . u^x du <= intégrale de U à n de 1/u² du= [-1/u] de U à n = -1/n+1/U <= 1/U
Et c'est gagné !!!
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