Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Existence d'un sup

Posté par
H_aldnoer 05-12-07 à 22:52

Bonsoir,

je cherche à montrer que sup_{t\in \mathbb{R}} \,|t|e^{-t^2} existe et est finie.
je ne vois pas comment m'y prendre!

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 05-12-07 à 22:55

Bon ben le sup existe, la fonction tends vers 0 en l'infini et comme sur un compact elle est bornée...

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 05-12-07 à 22:58

j'ai bien vu que \lim_{t\to +\infty} |t|e^{-t^2}=0 , cela suffit-il à affirmer l'existence de sup_{t\in%20\mathbb{R}}%20\,|t|e^{-t^2} ??

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:01

Il suffit de montrer que la fonction est majorée pour que le sup soit fini.
Toute partie de R admet une borne sup (et cette borne sup est finie ssi la partie est majorée)

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:04

donc si j'ai une fonction f(t), si |f(t)|\le M alors sup_{t} f(t) existe et est finie, c'est bien ça ?

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:05

Oui...

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:08

ici il faut donc que je montre que ma fonction est bornée, mais je ne vois comment

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:10

Ben elle est continue et tends vers 0 à l'infini.

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:16

comme elle est continue en 0, on a :
\forall e>0\, \exist \eta>0 \, |x|\le \eta \Rightarrow |f(t)|\le e ?

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:17

euuh \forall%20e%3E0\,%20\exist%20\eta%3E0%20\,%20|t|\le%20\eta%20\Rightarrow%20|f(t)|\le%20e

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:28

Donc on prend M=e, comme \forall t, |f(t)|\le e c'est vrai aussi pour le sup et donc on a sup |f(t)|\le M

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:30

en faite c'est pas vrai \forall t mais \forall t tel que |t|\eta.

mais donc comment conclure ? sup_{t\in \mathbb{R}} f(t) \neq sup_{|t|\eta} f(t) non ?

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:37

Qu'est ce que tu essaie de prouver exactement?

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:43

montrer que sup_{t\in \mathbb{R}}\, |t|e^{-t^2} existe et est finie.

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:44

Mais on l'a déja montré ça!
On a vu que ta fonction était continue et tendait vers 0 à l'infini. Donc elle est majorée et elle a une borne sup sur R

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:49

mais je veux écrire les choses pour mieux les comprendre!

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:50

j'utilise la continuité en 0? c'est bien ça non ?

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:56

Non tu utilises la continuité sur tout R, une fonction continue sur un compact est bornée, ca te dit qqch?

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 05-12-07 à 23:58

oui.
Il est ou le compact ici ?

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 06-12-07 à 00:00

Ben Tu prends un compact assez grand de sorte que hors de ce compact ta fonction soit plus petite que epsilon, ou tu t'est fixe un epsilon =1 par exemple (ou 12 si tu prefères!)

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 06-12-07 à 00:01

ah oui, mais je comprend rien!
on prend un compact comme ça, on est sur qu'il existe ???

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 06-12-07 à 00:06

Bon, je te guiOn sait qu'il existe A>0 tel que pour |x|>A alors |f(x)|<1.
Sur [-A,A] compact f est continue donc bornée. Donc f est bornée sur [-A,A] et |f|<1 sur ]-oo,-A[ union ]A,+oo[. Donc f est bornée sur R.

Tu n'as jamais vu ce genre de raisonnement?

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 06-12-07 à 00:19

non.
D'ou ça vient "A>0 tel que pour |x|>A alors |f(x)|<1" ?
c'est la définition de lim_{x\to +\infty} f(x)=0 avec \epsilon=1 ?

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 06-12-07 à 00:20

Ca vient exactement de ça!

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 06-12-07 à 00:24

pourquoi |f(x)|<1 sur ]-\infty,-A[\cup]A,+\infty[ ??

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 06-12-07 à 00:25

ben c'est ce qu'on a écrit quand on écrit que |x|>A alors |f(x)|<1.

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 06-12-07 à 00:31

ah OK!
Donc comme f est bornée sur tout R, il existe un sup sur R qui est finie.

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 06-12-07 à 00:31

Oui

Posté par
H_aldnoerre : Existence d'un sup 06-12-07 à 00:32

Ok merci bien.

Posté par
freniclere : Existence d'un sup 06-12-07 à 00:55


Bonjour
Tu peux aussi étudier la fonction et constater qu'elle atteint son  un maximum en t = 2/2

Cordialement
Frenicle

Posté par
Rodrigore : Existence d'un sup 06-12-07 à 00:59

Effectivement mais ma philosophie est d'eviter les calculs autant que possible!

Posté par
freniclere : Existence d'un sup 06-12-07 à 11:02

Le calcul ne prend qu'une ligne, mais s'il s'agit de philosophie, je m'incline

Posté par
jeansebre : Existence d'un sup 06-12-07 à 11:43

> Frenicle:


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !